Плоская задача теории упругости или исследование напряженного состояния в точке. Изгиб прямоугольной или круглой пластины. Кращук А.А. - 13 стр.

          ∂ 2ϕ            ∂ 2ϕ             ⎛ ∂ 2ϕ            ⎞
     σx =       ;   σ   =      ;  τ    = − ⎜      + Xy + Yx ⎟⎟, (3.1)
                      y             xy     ⎜
                                           ⎝ ∂x∂y
              2              2
          ∂y              ∂x                                 ⎠
    где X, Y – объемные силы, соответственно параллельные
осям x и y.
    Функцию ϕ( x , y) находим из решения бигармонического
уравнения:
     ∂ 4ϕ        ∂ 4ϕ      ∂ 4ϕ
          + 2            +       =0.                            (3.2)
     ∂x 4      ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4
                                    X ν = σ x l + τ xy m;
    при граничных условиях:                                     (3.3)
                                    Yν = σ y m + τ yx l.
    При определении значения угла между нормалью и осью,
поворачиваем нормаль против хода часовой стрелки до совме-
щения с положительным направлением взятой оси.

    3.3. Первая контрольная работа
         Варианты 0 – 14
    Дана прямоугольная пластинка (рис. 3.3), толщиной, равной
единице. Выражение для функции ϕ( x , y) взять из таблицы 3.1,
а числовые значения – из таблицы 3.2. Объемными силами пре-
небречь [3].
    Требуется:
    1.Проверить, можно ли взятую функцию ϕ( x , y) принять
для решения плоской задачи.
    2. Найти выражения для напряжений.
    3. Построить эпюры напряжений для одного сечения: а) се-
чение с нормалью х – эпюры σ x , τ yx ;б) сечение с нормалью у –
эпюры σ y τ xy (значения х и у даны в табл. 3.2).
           ,
     4. Определить поверхностные силы X ν , Yν на всех четырех
гранях пластины, построить их эпюры с указанием направления
сил.

                                 13