Плоская задача теории упругости или исследование напряженного состояния в точке. Изгиб прямоугольной или круглой пластины. Кращук А.А. - 16 стр.

бигармоническое уравнение (3.2) в тождество. Находим произ-
водные:
 ∂ϕ                          ∂ 2ϕ              ∂ 3ϕ
    = −3x 2 y + 2 y 3 + 4 x;      = −6 xy + 4;      = −6 y;
 ∂x                          ∂x 2              ∂x 3
∂ 4ϕ          ∂ϕ                     ∂ 2ϕ             ∂ 3ϕ
       = 0;      = − x 3 + 6xy 2 ;          = 12xy;          = 12x;      (3.6)
∂x 4          ∂y                     ∂y 2             ∂y 3
∂ 4ϕ          ∂ 2ϕ          2       2      ∂ 3ϕ               ∂ 4ϕ
       = 0;         = − 3 x   + 6 y   ;            = −6 x ;           = 0.
 ∂y 4         ∂x∂y                        ∂x 2 ∂y           ∂x 2 ∂y 2
      Подставляем четвертые производные из (3.6) в уравнение
(3.2):
      0 + 2⋅0 + 0 =0.
      Получили, что функцию (3.5) можно взять для решения за-
дачи.
      2. Находим напряжения. Учтем: X =0; Y =0.
             ∂ 2ϕ                     ∂ 2ϕ
      σ x = 2 = 12xy; σ y = 2 = −6 xy + 4;
             ∂y                       ∂x
                                                                           (3.7)
                ∂ 2ϕ            2        2        2       2
      τ xy = −        = −(−3x + 6 y ) = 3x − 6 y .
                ∂x∂y

       3. Строим эпюры напряжений (рис. 3.4).
       а) сечение x =1.
       σ x = 12 ⋅ 1 ⋅ y (уравнение прямой линии).
       При y = ±1, σ x = ±12 .
       τ yx = 3 ⋅ (1) 2 − 6 y 2 = 3 − 6 y 2 ,(уравнение квадратной парабо-
лы).
       При y = 0, τ yx = 3;    при y = ±1, τ yx = −3.
       Найдем значения y , при которых τ yx = 0.
       3 − 6 y 2 = 0. y1, 2 = ± 316 = ±0.707.
       b) сечение y =0,2.

                                      16