Плоская задача теории упругости или исследование напряженного состояния в точке. Изгиб прямоугольной или круглой пластины. Кращук А.А. - 39 стр.

                                Продолжение таблицы 6.2
              1           2       3        4       5
              6           6       3       0,1    0,35
              7           5       3       0,2    0,35
              8           5       3       0,1    0,35
              9           6       3       0,2     0,3

    6.3. Пример
    Кольцевая пластина (рис. 6.1.g) жестко защемлена по на-
ружному контуру. Радиальные изгибающие моменты m равно-
мерно распределены по внутреннему контуру [3] .
          ⎛      r a 2 − r 2 ⎞⎟
    W = C⎜ 2ln +                . а=8, b =4, ν = 0.3 .      (6.9)
          ⎜      a      a 2 ⎟⎠
          ⎝
    1. Проверка граничных условий.
    При r = a , W = 0 , α r = dW dr = 0 .
                ⎛     a a 2 − a 2 ⎞⎟
      W (r ) = C⎜ 2ln +              = 0;
                ⎜     a     a 2 ⎟⎠
                ⎝
         ⎛ a 1 2r ⎞         ⎛1 r ⎞               ⎛1 a ⎞
α r = C⎜ 2 ⋅ − 2 ⎟ = 2C⎜ − 2 ⎟; α r = 2C⎜ − 2 ⎟ = 0. (6.10)
         ⎝  r  a    a ⎠     ⎝ r   a ⎠            ⎝a a ⎠
      Граничные условия выполняются.
      2. Определение постоянной С.
      Используем условие: при r = b, M r = m .            (6.11)
      Производные в формуле (6.2):
  2
d W          ⎛ 1       1 ⎞ ν dW           ν ⎛1 r ⎞    ⎛ 1  1 ⎞
    2
        = 2C⎜ − 2 − 2 ⎟ :         = 2C ⎜ − 2 ⎟ = 2Cν⎜ 2 − 2 ⎟.
 dr          ⎝ r      a ⎠ r dr            r ⎝r a ⎠    ⎝r  a ⎠
            ⎛ 1          1    ν  ν ⎞
M r = −2CD⎜ − 2 − 2 + 2 − 2 ⎟ =
            ⎝ r         a    r  a ⎠
       a (1 − ν ) + r (1 + ν )
        2             2
= 2CD                                                     (6.12)
               a2 r 2


                                 39