Математическая статистика. Крашенинников В.Р - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

- 21 -
Система (X , Y) может быть определена также совместной плотностью
распределения вероятностей f
xy
(x, y), которая связана с частными
плотностями распределения вероятностей f
x
(x) и f
y
(y) равенствами [3–5]:
f
x
(x) =
()
+
xy
-
fx,
y
d
y
∞
∞
∫
,
(1.37)
f
y
(y) =
()
xy
fx,
y
dx
+∞
−∞
∫
.
Кроме того,
F
xy
(x, y) =
()
y
x
xy
f u, v dudv
−∞ −∞
∫∫
, (1.38)
f
xy
(x, y) =
2
xy
F(x,y)
xy
∂
∂∂
. (1.39)
Систему случайных величин
(X, Y) можно рассматривать как случайную точку
на плоскости со случайными координатами
Х и Y. Если ∆х и ∆y – стороны
прямоугольника
R (рис.1.9), содержащего точку (x
0
, y
0
), то вероятность
попадания случайной точки
(X , Y) в R, эквивалентна
f
xy
(x
0
, y
0
) ∆x ∆y
при стремлении ∆х и ∆y к нулю. Из этого следует, что вероятность попадания
(X, Y) в область D на плоскости (рис. 1.9) может быть найдена по формуле
P((x, y)
∈
D) =
xy
D
f(x,y)dxdy
∫
∫
. (1.40)
Таким образом, если результат каждого
i-го наблюдения (x
i
, y
i
) системы
случайных величин
(Х , Y) отмечать точкой на плоскости, то полученные точки
с большей вероятностью будут попадать в те области плоскости, где больше
значения функции
f
xy
(x, y). Отсюда и название функции – плотность
распределения вероятностей.
В результате (при большом объёме выборки) полученные точки будут
расположены гуще, плотнее в областях больших значений
f
xy
(x, y). На рис.1.10
приведён пример такого распределения точек на плоскости. Создаётся
впечатление, что точки группируются вдоль некоторой прямой, изображённой
на рисунке пунктиром. Это наводит на мысль о том, что зависимость случайной
величины
Y от величины Х может быть приближённо выражена линейным
уравнением
y = ax + b. При этом параметры этого уравнения нужно подобрать
так, чтобы это уравнение описывало зависимость между
Х и Y «как можно
точнее».

Страницы