Основы теории обработки изображений. Крашенинников В.Р. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14
Рассмотрим задачу оценки гауссовского вектора
()
T
m
xxx ,...,
1
=
, когда
имеется гауссовский вектор наблюдений
(
)
T
n
zzz ,...,
1
=
. Пусть известны все
средние значения и все ковариации величин x
i
, mi ,1= , и z
i
, ni ,1= . Без потери
общности можно считать, что
0][
=
xM и 0][
=
zM , так как мы можем цен-
трировать все величины, вычитая из них их математические ожидания. Если
оптимальность оценки понимать в смысле минимума средних квадратов
ошибок, то есть при квадратичной функции потерь
])
ˆ
[(
2
ii
xxM −
, то опти-
мальной оценкой будет
zVVx
zzxz
1
ˆ
−
=
, (5.5)
где
},..,1,,..,1],[{][ njmizxMzxMV
ji
T
xz
====
– матрица ковариаций x
i
и z
j
(кросс-ковариаций). Отметим, что
T
zxxz
VV =
. Отсюда следует очень важ-
ный факт:
оптимальная оценка гауссовских параметров по гауссовским
наблюдениям линейна (есть линейная функция наблюдений
z
).
Матрица ковариаций ошибок оценки (5.5) есть
()
(
)
TVVVVxxxxM
zxzzxzxx
T
=−=−−
−1
]
ˆˆ
[
. (5.6)
При этом дисперсии ошибок равны диагональным элементам матрицы Т.
Матрица ковариаций ошибок оценок и наблюдений равна нулю:
0])
ˆ
[( =−
T
zxxM
. (5.7)
Это очень важное обстоятельство:
ошибки оптимальных оценок не корре-
лированы с наблюдениями.
Отметим, что оценка (5.5) есть оптимальная линейная оценка
x
для
любых центрированных векторов
x
и
z
, то есть это оптимальная оценка
среди оценок вида
z
F
, где
F
– любая матрица. Но эта оценка не обязатель-
но оптимальна для негауссовских векторов.
Рассмотрим теперь важный случай оценки одного параметра, то есть
пусть
xx =
и
zx
T
α
=
ˆ
, где
α
– весовой вектор оценки. Тогда (5.7) прини-
мает вид
(
)
0][ =−
TT
zxzM
α
, где
1−
=
zzxz
T
VV
α
,
zxzz
VV
1−
=
α
. (5.8)
Из (5.8) следует, что
является решением системы линейных уравнений
zxzz
VV =
α
или в развернутом виде
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nnnnn
n
xz
xz
nzzzzzz
zzzzzz
V
V
VVV
VVV
......
...
............
...
1
21
12111
1
α
α
. (5.9)
При этом средний квадрат ошибки оценки определяется из (5.6):
()
zxzzxzzxzzxzxx
VVVVVVVxxM
121
2
][
−−
−=−=−
σ
)
. (5.10)

Страницы