Основы теории обработки изображений. Крашенинников В.Р. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

16
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
==
−
−
0,
1
)1(2)1(2
)1(2)1(2
2,2
2
1
2422
2222
2221
ρ
ρ
σρσρρ
σρρσρ
σρσρα
zzxz
T
VV
. Итак, опти-
мальный прогноз есть
)(
1
0,
1
ˆ
11
2
22
11
2
+−
+−
+−
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
==
ii
ii
ii
T
i
xx
xx
xx
zx
ρ
ρ
ρ
ρ
α
, (5.14)
а дисперсия его ошибки
()
)1/()1(]
ˆ
[
22
2
ρρ
+−=−
ii
xxM
. Отметим, что в эту оценку не
вошли наблюдения
2±i
x
(их веса оказались нулевыми). Это является следствием марково-
сти рассматриваемой последовательности: условное распределение вероятностей элемента
i
x
при известных значениях элементов
1±i
x
не зависит от более удаленных элементов.
Поэтому прогноз (5.14) не изменится, если в
z
добавить к
1±i
x
любые другие элементы
(конечно, кроме самого
i
x
– тогда задача прогноза бессмысленна).
Пример 3. Рассмотрите самостоятельно обобщение примера 2, когда наблюдения
элементов
i
x
зашумлены:
iii
xz
θ
+
=
, где
}{
i
θ
– независимые между собой и от
i
x
га-
уссовские помехи с нулевым средним и дисперсией
2
θ
σ
. Убедитесь в том, что веса на-
блюдений
2±i
z
не будут нулевыми, так как последовательность
i
z
не марковская.
Пример 4. Рассмотрим теперь прогноз элемента
ij
x
И, определяемого моделью (4.3),
по наблюдениям его восьми ближайших соседей
(
)
T
jijiji
xxxz
1,11,,1
,,
±±±±
=
, см. рис. 5.1.
1,1 −− ji
x
ji
x
,1−
1,1 +− ji
x
1, −ji
x
ij
x
1, +ji
x
1,1 −+ ji
x
ji
x
,1+
1,1 ++ ji
x
Рис. 5.1.
Как и в примере 2, в силу марковости, добавление к уже имеющимся других наблю-
дений прогноза не улучшает. Из-за симметрии веса у четырех наблюдений
1,1 ±± ji
x
(распо-
ложенных по диагоналям), у двух наблюдений
ji
x
,1±
и у двух наблюдений
1, ±ji
x
будут
одинаковыми. Предположим для простоты, что
ρ
ρ
ρ
=
=
21
. Тогда веса всех четырех
наблюдений
ji
x
,1±
и
1, ±ji
x
будут одинаковыми. Следовательно, наблюдения можно пред-
ставить в виде
()
T
zzz
21
,=
, где
jijijiji
xxxxz
,1,11,1,1 +−+−
+
+
+
=
и
1,11,11,11,12 ++−++−−−
+
+
+=
jijijiji
xxxxz
. Покажите, что
22
,
)31(4
11
σρ
+=
zz
V
,
222
,
)1(4
22
σρ
+=
zz
V
,
22
,
)1(8
21
σρρ
+=
zz
V
,
2
,
4
1
ρσ
=
zx
ij
V
,
22
,
4
2
σρ
=
zx
ij
V
, найдите
оптимальный прогноз
2211,
ˆ
zzx
ji
α
α
+
=
и дисперсию его ошибки.

Страницы