Основы теории обработки изображений. Крашенинников В.Р. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

15
Этот средний квадрат ошибки можно представить в другом виде. Рассмотрим
определитель полной ковариационной матрицы V (наблюдений и оценивае-
мого параметра):
zzzx
xzxx
VV
VV
V
=||
. (5.11)
Тогда
(
)
zz
VVxxM /]
ˆ
[
2
=−
, (5.12)
то есть средний квадрат ошибки оценки равен отношению определителя
полной ковариационной матрицы к определителю ковариационной мат-
рицы наблюдений.
Пример 1. Рассмотрим оценку гауссовского сигнала x с параметрами (0, σ
2
) по за-
шумленному наблюдению
z=x+θ, где θ – гауссовский шум с параметрами (0, σ
2
θ
), незави-
симый от
x. В нашем случае, используя (5.8), получаем
[]
()
[
]
22
2
2
θ
σσθ
+=+==
xzz
xMzMV
,
[
]
(
)
[
]
2
xxz
xxMxzMV
σθ
=+==
,
(
)
)/(
222
1
2221
θθ
σσσσσσα
+=+==
−
−
xxxxzzxz
VV
.
Итак, оптимальной оценкой является
)/(
ˆ
222
θ
σσσ
+=
xx
zx
. (5.13)
Дисперсию ошибки этой оценки получим из (5.10):
()
22
22
22
2
22
22
2212
2
1
1
]
ˆ
[
θ
θ
θθ
σσ
σσ
σσ
σ
σσ
σσ
σσσ
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−=
+
−=−=−
−
x
x
x
x
xx
x
xxzxzzxzx
VVVxxM
,
или, по-другому, из (5.12):
()
[]
22
22
22
222
22
2
ˆ
θ
θ
θ
θ
σσ
σσ
σσ
σσσ
σσ
+
=
+
+
=−
x
x
x
xx
xx
xxM
.
Пример 2. Рассмотрим прогноз элемента
i
x
последовательности, определяемой мо-
делью (1.1) с
ρ
ρ
=
1
, по наблюдениям четырех его ближайших элементов
()
T
iiii
xxxxz
2112
,,,
++−−
=
. Из симметрии можно сделать вывод, что веса наблюдений
1±i
x
, (а также
2±i
x
) одинаковы, следовательно, оценка имеет вид
221121211122121111
)()(
ˆ
zzxxxxxxxxx
iiiiiiiii
α
α
α
α
α
α
α
α
+=
+
+
+
=
+
+
+=
+−+−+−+−
.
Поэтому для сокращения размерности представим наблюдения в виде
()()
TT
iiii
zzxxxxz
212211
,, =++=
+−+−
. Найдем элементы матриц
zz
V
и
zx
V
из (5.8):
=+==
+−
])[(][
2
1111,
11
iizz
xxMzzMV
2222222
111
2
1
)1(22]2[
σρσρσσ
+=++=++
++−− iiii
xxxxM
,
=+++=++==
++−++−−−+−+−
][)])([(][
21212121221121,
21
iiiiiiiiiiiizz
xxxxxxxxMxxxxMzzMV
22
1
)1(2
σρρ
+=
,
2
11111,
2][)]([][
1
ρσ
=+=+==
+−+− iiiiiiiizx
xxxxMxxxMzxMV
i
,
22
22222,
2][)]([][
2
σρ
=+=+==
+−+− iiiiiiiizx
xxxxMxxxMzxMV
i
,
24
,
)1(2
22
σρ
+=
zz
V
.
Таким образом,

Страницы