Основы теории обработки изображений. Крашенинников В.Р. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

26
)|)((
10
HZPP
D
λ
λ
≥
=
. (6.8)
В задачах обнаружения сигналов обычно используется критерий Нейма-
на-Пирсона: задается вероятность ложной тревоги
F
P
, по которой из уравне-
ния (6.7) находится порог
0
λ
. Затем из (6.8) находится вероятность правиль-
ного обнаружения
D
P
.
Например, при гауссовском распределении помех
Y и их аддитивном
взаимодействии с сигналом статистика
λ
(Z) имеет нормальное распределе-
ние. При гипотезе
Н
0
сигнал в наблюдениях отсутствует, среднее значение
статистики (6.2)
0
0
=m
и дисперсия
GG
T
G
SVS
12
0
−
=
σ
, поэтому
)/(1
00
σ
λ
Φ
−
=
F
P
, (6.9)
где
(*)Φ
– функция Лапласа (полная). При гипотезе Н
1
сигнал в наблюдениях
имеется, среднее значение статистики становится равным
GG
T
G
SVSm
1
1
−
=
, а
дисперсия сохраняется. Таким образом,
GG
T
G
SVSm
1
1
2
1
2
0
−
===
σσ
. (6.10)
Из (6.8) и (6.10) получаем
(
)
100010
/1)/)((1 mmP
D
−Φ−=−Φ−=
σλσλ
. (6.11)
Пример 1. Рассмотрим обнаружение сигнала
)3,2,1( −⋅= сS
T
G
на фоне случайного
процесса, заданного авторегрессионной моделью (4.1) с параметрами
ρ
ρ
=
1
и 1
=
σ
, где
с – постоянный множитель. Из примера 2 лабораторной работы 2, следует, что прогнозы в
каждую точку зависят только от двух ближайших соседей и дисперсии ошибок одинако-
вы, поэтому будем использовать статистику в форме (6.5). Возьмем область
)1,,1( +−= iiiG
. Тогда
)(
11
*
+−
+=
iii
zzaz
, где
)1/(
2
ρρ
+=a
,
,/]3)23()22()21([
/))]((3))((2))(([)(
2
2112
2
211121
ε
ε
σ
σλ
++−−
+++−−−
++−++−+−=
=+−−+−++−=
iiiii
iiiiiiiii
azzazazaazc
zzazczzazczzazcZ
где
)1/()1(
222
ρρσ
ε
+−=
– дисперсия ошибки прогноза в точку. При наличии сиг-
нала имеем
czMczMczM
iii
3][,2][,][
11
−===
−−
, поэтому
222
1
/)814(/]3)23(2)22()21[(
εε
σσ
cacacacacm +=++++−=
. Такое же значение,
согласно (6.10), имеют дисперсии
2
1
2
0
σσ
=
. Пусть, например,
5.0=
ρ
, тогда
2
1
2
1
2
0
2
67.28,6.0,4.0 cma =====
σσσ
ε
. Пусть задана вероятность ложной тревоги
001.0=
F
P
, тогда из (6.9) имеем
999.0)35.5/(),35.5/(1001.0
00
=ΦΦ−= cc
λλ
,
cc 6.16,1.335.5/
00
==
. Подставляя эти значения в (6.10), получаем вероят-
ность правильного обнаружения
(
)
ccP
D
35.51.31)(
−
Φ
−
=
, график которой показан на
рис.6.3. Как уже отмечалось ранее, можно использовать статистику (6.6), то есть исклю-
чить в статистике деление на
2
ε
σ
, но тогда нужно использовать порог
сс 106.166.0
0
2
=⋅=
λσ
ε
. Характеристики обнаружения при этом не изменятся.
Отметим при этом, что
FD
PP
=
Φ
−
=
)1.3(1)0(
, поэтому график начинается не из на-
чала координат. Получается, что при
0
=
с
, когда сигнал нулевой, то есть его фактически
нет, он тем не менее обнаруживается. Этот странный факт связан с тем, что имеется веро-

Страницы