ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
- 4 -
Плотность распределения
p(x) случайной величины
ξ
выражается через ха-
рактеристическую функцию
()
t
ϕ
с помощью обратного преобразования Фурье
() ()
∫
+
∞
∞−
−
= dttexp
itx
ϕ
π
2
1
.
Свойства характеристических функций.
1.
Характеристическая функция
(
)
t
ϕ
случайной величины
ξ
определена для
любого
()
+∞∞−∈ ,t , причём
(
)
1
≤
t
ϕ
,
(
)
10
=
ϕ
.
2.
При изменении знака аргумента значение характеристической функции из-
меняется на комплексно-сопряжённое;
(
)
(
)
tt
ϕϕ
=−
, +∞<<
∞
−
t
.
3.
Если случайные величины связаны соотношением bk +=
12
ξ
ξ
, то
() ( )
ktet
itb
12
ξξ
ϕϕ
=
.
4.
Если
ξ
и
η
– независимые случайные величины, то
() () ()
ttt
ηξηξ
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
. (7.4)
5.
Если существует
ξ
M
, то
()
i
0
ϕ
ξ
′
=М . (7.5)
Если существует
ξ
D , то
(
)()
[]
2
00
ϕϕξ
′
+
′′
−=D . (7.6)
6.
Соответствие между множеством функций распределения и множеством ха-
рактеристических функций, устанавливаемое формулой
()
ξ
ϕ
it
et М= , являет-
ся взаимно однозначным (теорема единственности) и непрерывным (пре-
дельная теорема Леви).
7.2 Указания к задачам 23 и 24
При решении задачи 23 воспользоваться формулами (7.2), (7.5) и (7.6), а в
задаче 24 – формулами (7.3), (7.5) и (7.6).
Пример 7.1. Дискретная случайная величина
ξ
может принимать значения
0, 1, 2, …, 9 с вероятностями
γ
, 2
γ
, 2
2
γ
, …, 2
9
γ
, соответственно, где
γ
=1/(2
10
-
1)=1/1023. Найти характеристическую функцию
(
)
t
ϕ
, математическое ожидание
ξ
М и дисперсию
ξ
D случайной величины.
Решение. По формуле (7.2)
()
++
++=
==
∑∑
==
92
9
0
9
0
2...22122
ititit
k
k
itk
k
itk
eeeeet
γγγϕ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
