Компьютерные технологии в физике. Часть 1. Компьютерное моделирование физических процессов. Красов В.И - 41 стр.

              времени, вследствие чего лишь в редких ситуациях становится возмож-
              ным аналитическое решение системы уравнений (3.3), (3.4). При числен-
              ном решении этой системы, предполагаются заданными начальные усло-
              вия (3.5), а также компоненты силы f x , f y , f z во всей области движения
              частицы.
                    Уравнения (3.3), (3.4) с математической точки зрения являются од-
              нотипными, поэтому их можно записать в следующем формализованном
              виде:

                                          dY dt = S (Y ,t ),                            (3.6)

              Начальные условия (3.5) тогда примут вид:

                                      Y = Y0            при                    t0 = 0      (3.7)

                       Алгоритм численного решения дифференциальных уравнений (3.6)
              на промежутке [t 0 , t 0 + T ] сводится к вычислению значений непрерывной
              функции Y (t ) лишь в дискретные моменты времени t k = k ∆t
              ( k = 0 ,1,2 ,.., N ), где ∆t - временной шаг, N = T ∆t - число шагов. Значение
              функции Y в момент времени tk +1 вычисляется по ее значению в преды-
              дущий момент времени t k с помощью разложения в ряд Тейлора вблизи
              точки Y (t k ) , которое в линейном приближении имеет вид :

                        Y (t k +1 ) = Y (t k ) + S (Y (t k ),t k )∆t + O (∆t 2 ),               (3.8)

              Последний член в правой части определяет точность разложения и означа-
              ет существование некоторой константы А, зависящей от функции Y (t ) , так
              что разность между Y (t k +1 ) и двумя первыми членами правой части будет
              меньше A∆t 2 при достаточно малых ∆t . С вычислительной точки зрения,
              эта величина является ошибкой метода ∆Y , которая, очевидно, пропор-
              циональна ∆t 2 .
                    Суть простейшего вычислительного алгоритма (метод Эйлера) сво-
              дится к замене точной формулы (3.8) приближенным соотношением

                                    Y (t k +1 ) ≈ Y (t k ) + S (Y (t k ),t k )∆t .         (3.8')

              Полученное согласно этой формуле значение функции Y (t k +1 ) отличается
              от точного (3.8) на величину ∆Y (см. рис. 3.1). Формула (3.8') наглядно


                                                                    2


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com