Компьютерные технологии в физике. Часть 1. Компьютерное моделирование физических процессов. Красов В.И - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

4
координаты и скорости
00
V,x в начальный момент времени
0
t по формуле
(3.9) находится значение координаты
(
)
11
txx
=
в следующий момент
1
t
.
Затем по известным значениям скорости и силы
00
f,V в начальный момент
времени
0
t
, в начальной точке
0
x
по формуле (3.10) находится скорость
(
)
11
tVV
=
в момент
1
t . Далее эта процедура повторяется в точке
1
x и т. д.
Из соотношения (3.9) следует, что при вычислении изменения ко-
ординаты x за интервал времени от t до
t
∆
используется значение
скорости частицы
x
V в начале этого интервала, которое считается посто-
янным в течение всего интервала. В действительности, скорость
x
V за
время
t
∆
также претерпевает определенные изменения, в связи с чем
предположение о постоянстве
x
V
приводит к дополнительной погрешно-
сти численного решения системы уравнений (3.3), (3.4). Для уменьшения
этой погрешности полезно несколько модифицировать стандартный ме-
тод Эйлера, сначала вычислив скорость в точке
1+k
t
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
...
tt,tftVtV
kkxkxkx
∆
+
=
+
Vr
1
а затем координату в этой точке
(
)
1+k
tx по формуле:
(3.11)
Сравнение формул (3.11) и (3.8) показывает, что описанная проце-
дура учитывает (неявным образом) квадратичный член по
t∆
, повышая
тем самым, точность вычислений координаты. Для дальнейшего повыше-
ния точности необходимо использовать другие методы численного реше-
ния уравнений (3.6), например метод Рунге-Кутта.
Важным аспектом численного решения дифференциальных уравне-
ний является проверка точности вычислительной схемы, для чего обычно
используют следующие простейшие методы.
1. Уменьшение шага расчета. При достаточной точности расчета вид
траектории не должен меняться. Метод является универсальным и
может быть использован во всех случаях.
2. Сравнение полученного численного решения с известным аналитиче-
ским решением (при некоторых, обычно предельных, значениях па-
раметров задачи).
3. Проверка выполнения законов сохранения в случае, когда в задаче есть
интегралы движения (например, энергия).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
( ) ( ) ( ) ( )( )
...
tt,tfttVtx
ttt,tftVtxttVtxtx
kkxkxk
kkxkxkkxkk
2
11
Vr
Vr
∆+∆+=
=
∆
∆
+
+
=
∆
+
=
++
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
              координаты и скорости x0 ,V0 в начальный момент времени t 0 по формуле
              (3.9) находится значение координаты x1 = x(t1 ) в следующий момент t1 .
              Затем по известным значениям скорости и силы V0 , f 0 в начальный момент
              времени t 0 , в начальной точке x0 по формуле (3.10) находится скорость
              V1 = V (t1 ) в момент t1 . Далее эта процедура повторяется в точке x1 и т. д.
                      Из соотношения (3.9) следует, что при вычислении изменения ко-
              ординаты x за интервал времени от t до t + ∆t используется значение
              скорости частицы V x в начале этого интервала, которое считается посто-
              янным в течение всего интервала. В действительности, скорость V x за
              время t + ∆t также претерпевает определенные изменения, в связи с чем
              предположение о постоянстве V x приводит к дополнительной погрешно-
              сти численного решения системы уравнений (3.3), (3.4). Для уменьшения
              этой погрешности полезно несколько модифицировать стандартный ме-
              тод Эйлера, сначала вычислив скорость в точке t k +1

                                                   Vx (t k +1 ) = Vx (t k ) + f x (r (t k ), V(t k )) ∆t
                                     ...
              а затем координату в этой точке x (t k +1 ) по формуле:


              x (t k +1 ) = x (t k ) + V x (t k +1 )∆t = x (t k ) + [V x (t k ) + f x (r (t k ), V(t k )) ∆t ]∆t =
                                                                                                                     (3.11)
              = x (t k ) + V x (t k )∆t + f x (r (t k ), V(t k )) ∆t 2
              ...

                    Сравнение формул (3.11) и (3.8) показывает, что описанная проце-
              дура учитывает (неявным образом) квадратичный член по ∆t , повышая
              тем самым, точность вычислений координаты. Для дальнейшего повыше-
              ния точности необходимо использовать другие методы численного реше-
              ния уравнений (3.6), например метод Рунге-Кутта.
                    Важным аспектом численного решения дифференциальных уравне-
              ний является проверка точности вычислительной схемы, для чего обычно
              используют следующие простейшие методы.
              1. Уменьшение шага расчета. При достаточной точности расчета вид
                 траектории не должен меняться. Метод является универсальным и
                 может быть использован во всех случаях.
              2. Сравнение полученного численного решения с известным аналитиче-
                 ским решением (при некоторых, обычно предельных, значениях па-
                 раметров задачи).
              3. Проверка выполнения законов сохранения в случае, когда в задаче есть
                 интегралы движения (например, энергия).

                                                                         4


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы