Компьютерные технологии в физике. Часть 1. Компьютерное моделирование физических процессов. Красов В.И - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

6
Для определения зависимости
(
)
tx уравнения (3.12) и (3.13) решаются с
начальными условиями, например, имеющими вид:
(
)
00
=
x ,
(
)
0
0 VV
. (3.14)
Уравнения (3.12) и (3.13) можно записать в каноническом виде:
0
2
0
2
2
=ω+
x
dt
xd
, где mk=ω
2
0
, (3.15)
которое называется уравнением гармонических колебаний и имеет для на-
чальных условий (3.14) простое решение:
t)V(x
000
ω
ω
sin
=
,
.tVV
00
ω
cos
=
Рассмотрим сразу более общий случай, когда кроме силы
F
на тело
действует также сила трения
γ
F
(например, за счет сопротивления возду-
ха) и некоторая внешняя сила )(tF
e
(которая может быть произвольной
функцией времени), также направленные по оси X. Обычно силу трения
записывают в виде VF
β
−
=
γ
.
В этом случае уравнения (3.13), (3.14) можно записать в виде:
V
dt
dx
=
(3.16)
( ) ( )
tfVxtxf
dt
dV
e
+γ−ω−==
2
0
,
, (3.17)
где введены обозначения m
β
=
γ
,
(
)
(
)
mtFtf
ee
=
. Аналитическое решение
(3.16), (3.17) в общем случае представляет сложную задачу, поэтому для
этого используют численные методы (см. раздел 3.1).
Полезной характеристикой колебательного движения оказывается
так называемый фазовый портрет, т.е. зависимость V от x
0
ω
. Легко ви-
деть, что в случае гармонических колебаний
2
0
22
0
2
VxV =ω+ , то есть фа-
зовый портрет представляет собой окружность.
Другой полезной характеристикой движения является зависимость
полной энергии тела
(
)
xUmVE += 2
2
от времени. Для силы вида
(
)
xkxF
−
=
потенциальная энергия
(
)
2
2
kxxU = . В отсутствие внешних
сил и трения ( 0,0
=
γ
=
e
F ) полная энергия сохраняется: const
0
=
=
EE .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
              Для определения зависимости x(t ) уравнения (3.12) и (3.13) решаются с
              начальными условиями, например, имеющими вид:

                                  x(0) = 0 ,            V (0 ) = V0 .                           (3.14)

                    Уравнения (3.12) и (3.13) можно записать в каноническом виде:

                           d 2x
                                + ω0 x = 0 ,             ω0 = k m ,
                                    2                         2
                              2
                                                где                                    (3.15)
                           dt

              которое называется уравнением гармонических колебаний и имеет для на-
              чальных условий (3.14) простое решение:

                               x = ( V0 ω 0 )sinω 0t , V = V0 cosω 0 t .

                    Рассмотрим сразу более общий случай, когда кроме силы F на тело
              действует также сила трения Fγ (например, за счет сопротивления возду-
              ха) и некоторая внешняя сила Fe (t ) (которая может быть произвольной
              функцией времени), также направленные по оси X. Обычно силу трения
              записывают в виде Fγ = −βV .
                    В этом случае уравнения (3.13), (3.14) можно записать в виде:

                                         dx
                                            =V                                                  (3.16)
                                         dt
                                         dV
                                            = f ( x, t ) = −ω0 2 x − γV + f e (t ) ,            (3.17)
                                         dt

              где введены обозначения γ = β m , f e (t ) = Fe (t ) m . Аналитическое решение
              (3.16), (3.17) в общем случае представляет сложную задачу, поэтому для
              этого используют численные методы (см. раздел 3.1).
                     Полезной характеристикой колебательного движения оказывается
              так называемый фазовый портрет, т.е. зависимость V от ω0 x . Легко ви-
              деть, что в случае гармонических колебаний V 2 + ω02 x 2 = V02 , то есть фа-
              зовый портрет представляет собой окружность.
                    Другой полезной характеристикой движения является зависимость
              полной энергии тела E = mV 2 2 + U ( x ) от времени. Для силы вида
              F ( x ) = −k x потенциальная энергия U ( x ) = kx 2 2 . В отсутствие внешних
              сил и трения ( Fe = 0, γ = 0 ) полная энергия сохраняется: E = E0 = const .


                                                          6


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы