Компьютерные технологии в физике. Часть 1. Компьютерное моделирование физических процессов. Красов В.И - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

7
Выполнение этого условия может быть одним из критериев точности чис-
ленного решения системы уравнения (3.16) - (3.17).
Безразмерные переменные
При численном решении уравнений (3.15), (3.17) удобно привести
их к безразмерному виду. Для этого введем характерные масштабы изме-
нения переменных: x
m
и t
m.
Тогда, умножив, например, уравнение (3.15)
на
2
m
t
и разделив на x
m
, получим:
0
2
0
2
2
=+ )x/x()t(
)t/t(d
)x/x(d
mm
m
m
ω
.
Введя теперь новые, безразмерные, переменные: ;x)x/x(
m
′
→
t)t/t(
m
′
→
, запишем уравнение (3.15) в виде:
0
2
0
2
2
=
′
+
′
′
x)t(
t
d
xd
m
ω .
Безразмерный коэффициент
(
2
0 m
tK ω= является параметром задачи. Его
величина определяет характер и траекторию движения. Отсюда видно, что
"естественной" единицей измерения времени является период собствен-
ных колебаний маятника (умноженный на 2π):
0
/1
ω
=
m
t . Окончательно,
уравнение (3.15) теперь выглядит следующим образом:
0
2
2
=
′
+
′
′
x
t
d
xd
. (3.15')
Это уравнение уже не содержит размерных параметров m и k , которые в
реальных задачах могут отличаться на много порядков величины, и опи-
сывают колебания маятника с произвольными значениями этих парамет-
ров. При численном решении уравнения (3.15') время будет измеряться в
единицах, кратных
0
/1
ω
(т.е. в периодах колебаний маятника). Единица
измерения длины при этом произвольна.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
              Выполнение этого условия может быть одним из критериев точности чис-
              ленного решения системы уравнения (3.16) - (3.17).

              Безразмерные переменные
                      При численном решении уравнений (3.15), (3.17) удобно привести
              их к безразмерному виду. Для этого введем характерные масштабы изме-
              нения переменных: xm и tm. Тогда, умножив, например, уравнение (3.15)
              на t m2 и разделив на xm, получим:

                                        d 2 ( x / xm )
                                                    2
                                                       + ( ω 0 t m )2 ( x / x m ) = 0 .
                                        d( t / tm )

              Введя теперь новые, безразмерные, переменные:                                 ( x / xm ) → x′;
                ( t / t m ) → t ′ , запишем уравнение (3.15) в виде:

                                        d 2 x′
                                               + ( ω 0 t m )2 x ′ = 0 .
                                        dt ′ 2




              Безразмерный коэффициент K = (ω0tm )2 является параметром задачи. Его
              величина определяет характер и траекторию движения. Отсюда видно, что
              "естественной" единицей измерения времени является период собствен-
              ных колебаний маятника (умноженный на 2π): tm = 1 / ω0 . Окончательно,
              уравнение (3.15) теперь выглядит следующим образом:

                                        d 2 x′
                                               + x′ = 0 .                                 (3.15')
                                        dt ′ 2

              Это уравнение уже не содержит размерных параметров m и k , которые в
              реальных задачах могут отличаться на много порядков величины, и опи-
              сывают колебания маятника с произвольными значениями этих парамет-
              ров. При численном решении уравнения (3.15') время будет измеряться в
              единицах, кратных 1 / ω 0 (т.е. в периодах колебаний маятника). Единица
              измерения длины при этом произвольна.




                                                            7


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы