Компьютерные технологии в физике. Часть 1. Компьютерное моделирование физических процессов. Красов В.И - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

12
движение тела происходит практически по прямой линии вдоль оси X.
Введем
α
≈
α
=
R
R
x
sin
, тогда из (3.20) имеем
0
2
0
2
2
=ω+γ+
x
dx
dt
xd
(3.22)
с начальными условиями:
0=x
,
RVdtdx
00
Ω
=
=
при
0=t
. Это уравне-
ние аналогично уравнению (3.15).
При свободных колебаниях математического маятника сохраняется
полная энергия mghmVE += 2
2
. В переменных
α
и dtd
α
=
Ω
выраже-
ние для энергии имеет вид :
))cos((mRE αω −+= 12
2
0
22
Ω . (3.23)
При численном решении системы уравнений (3.18), (3.19') можно
воспользоваться указанным в разделе 3.2.1. алгоритмом, где роль коорди-
наты x играет угол
α
, а скорости V- угловая скорость
Ω
. Если в качестве
временного масштаба t
m
выбрать период колебаний
0
1
ω
, уравнение (3.20)
в безразмерных переменных принимает вид:
0
2
2
=+
′
+
′
α
α
γ
α
sin
t
d
d
t
d
d
(3.20')
Задача 3.
Нелинейные колебания без затухания. В уравнении (3.20') положите
0
=γ
. Начальные условия:
0
0
Ω
=
=
dtd,
α
α
при
0=t
3.1. Задайте значение
0
Ω
< 1. Почему вид фазовой траектории и гра-
фика
(
)
t
α
совпадает с полученными в Задаче 1, и каков характер колеба-
ний в этом случае?
3.2. Увеличивая
0
Ω
, наблюдайте изменение вида фазовой траекто-
рии и графика зависимости
(
)
t
α
.
3.3. Увеличивайте далее
0
Ω
, добейтесь того, чтобы маятник «про-
скочил» верхнюю точку траектории. В этом случае кривая зависимости
(
)
t
α
становится неограниченно растущей, фазовая траектория – незамкну-
той, а движение тела называется инфинитным, в отличие от ранее рас-
смотренных случаев, когда движение тела называется финитным.
3.4. Изменяя
0
Ω
, максимально близко подойдите к предельной
фазовой кривой, отделяющей инфинитное движение от финитного, кото-
рая называется сепаратрисой. Сохраняя начальные условия, убедитесь, что
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
              движение тела происходит практически по прямой линии вдоль оси X.
              Введем x = R sin α ≈ Rα , тогда из (3.20) имеем

                                        d 2x    dx
                                           2
                                             + γ + ω02 x = 0                       (3.22)
                                        dt      dt

              с начальными условиями: x = 0 , dx dt = V0 = Ω0 R при t = 0 . Это уравне-
              ние аналогично уравнению (3.15).
                    При свободных колебаниях математического маятника сохраняется
              полная энергия E = mV 2 2 + mgh . В переменных α и Ω = dα dt выраже-
              ние для энергии имеет вид :

                                        E = mR 2 ( Ω 2 2 + ω 02 ( 1 − cos α )) .   (3.23)

                    При численном решении системы уравнений (3.18), (3.19') можно
              воспользоваться указанным в разделе 3.2.1. алгоритмом, где роль коорди-
              наты x играет угол α , а скорости V- угловая скорость Ω . Если в качестве
              временного масштаба tm выбрать период колебаний 1 ω0 , уравнение (3.20)
              в безразмерных переменных принимает вид:

                                        d 2α      dα
                                               +γ      + sin α = 0                 (3.20')
                                        dt ′ 2
                                                  dt ′

              Задача 3.

                     Нелинейные колебания без затухания. В уравнении (3.20') положите
              γ = 0 . Начальные условия: α = 0 , dα dt = Ω 0 при t = 0
                     3.1. Задайте значение Ω 0 < 1. Почему вид фазовой траектории и гра-
              фика α(t ) совпадает с полученными в Задаче 1, и каков характер колеба-
              ний в этом случае?
                     3.2. Увеличивая Ω 0 , наблюдайте изменение вида фазовой траекто-
              рии и графика зависимости α(t ).
                     3.3. Увеличивайте далее Ω 0 , добейтесь того, чтобы маятник «про-
              скочил» верхнюю точку траектории. В этом случае кривая зависимости
              α(t ) становится неограниченно растущей, фазовая траектория – незамкну-
              той, а движение тела называется инфинитным, в отличие от ранее рас-
              смотренных случаев, когда движение тела называется финитным.
                     3.4. Изменяя Ω 0 , максимально близко подойдите к предельной
              фазовой кривой, отделяющей инфинитное движение от финитного, кото-
              рая называется сепаратрисой. Сохраняя начальные условия, убедитесь, что
                                                        12


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы