Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 1 стр.

     КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


  Говоря нестрого, задача о вычислении определённого интеграла возникает, когда нужно «про-
суммировать» значения какой-то функции, определённой на отрезке. Аналогично кратные инте-
гралы появляются при «суммировании» функций, определённых на двумерных (двойные инте-
гралы) и трёхмерных (тройные интегралы) областях, кривых (криволинейные интегралы) или
поверхностях (поверхностные интегралы).


  1. Кратные интегралы
  Мы рассмотрим два вида кратных интегралов — двойные и тройные. Приведём два типичных
примера ситуаций, в которых такие интегралы возникают.

  Пример 1 (вычисление объёма криволинейного бруса). Рассмотрим область D ⊂ R2 на плос-
кости и функцию f (x, y) > 0, определённую в этой области. Назовём криволинейным брусом
множество
                      Df = { (x, y, z) | (x, y) ∈ D, 0 6 z 6 f (x, y) } ⊂ R3 .
Что такое объём этого бруса и как его вычислить?
  Чтобы ответить на эти вопросы, вспомним, как определялась площадь криволинейной трапеции
и рассмотрим некоторое множество попарно не пересекающихся прямоугольников pi , лежащих
внутри области D. Пусть ξi ∈ pi и si — площадь прямоугольника pi . Положим
                                            X
                                        V =    f (ξi )si .
                                               i

Аналогичным образом рассмотрим некоторое множество прямоугольников, которые также попар-
но не пересекаются и объединение которых содержит область D. Положим
                                          X
                                      V =     f (ξi )Si ,
                                               i

где Si — площадь i-го прямоугольника из рассматриваемого множества. Если нижняя грань чи-
сел V совпадает с верхней гранью чисел V , то число
                                      V = inf V = sup V
называется объёмом криволинейного бруса. Стандартное обозначение этой величины —
                                      ZZ
                                  V =      f (x, y) dx dy,
                                           D

и символ, стоящий справа, называется двойным интегралом функции f по области D.

  Пример 2 (вычисление массы тела). Рассмотрим тело N ⊂ R3 и предположим, что внутри
этого тела распределена некоторая масса с плотностью ρ = ρ(x, y, z). Это означает, что если мы
возьмём некоторый параллелепипед, содержащий точку (x, y, z), и устремим его объём к нулю,
то отношение объёма к массе будет равно значению плотности в рассматриваемой точке.
  Пусть задано некоторое множество не пересекающихся параллелепипедов Pi , лежащих внут-
ри N , vi — их объёмы, и ξi — точки, лежащие внутри этих параллелепипедов. Положим
                                            X
                                        M=      ρ(ξ)vi .
                                                   i
                                                    1