Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 3 стр.

                  КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ                        3

    • двойные и тройные интегралы мы будем называть кратными и обозначать через
                                        Z
                                          f dΩ,
                                                 Ω
      где Ω — рассматриваемая область.
  Во-первых, опишем важный класс интегрируемых функций.
  Предложение 1. Всякая функция, непрерывная в замкнутой области Ω, интегрируема в этой
области.
  Замечание 1. Пусть функция f интегрируема в некоторой области Ω и Ω′ ⊂ Ω — подмноже-
ство, мера которого равна нулю. Изменив произвольным образом значения функции f на Ω′ , мы
получим новую функцию f ′ . Оказывается, она тоже будет интегрируемой и
                                     Z         Z
                                       f dΩ =    f ′ dΩ.
                                     Ω                   Ω
  Сформулируем теперь основные свойства кратных интегралов.
  Предложение 2. Пусть Ω — измеримая область и f — интегрируемая в этой области функция.
Тогда:
   1) Если область Ω разбита на две измеримые непересекающиеся области Ω′ и Ω′′ (т.е. Ω =
       Ω′ ∪ Ω′′ и Ω′ ∩ Ω′′ = ∅), то f интегрируема в Ω′ и Ω′′ и
                                    Z         Z         Z
                                       f dΩ =   f dΩ′ +     f dΩ′′ .
                                Ω            Ω′                  Ω′′
   2) Если c — постоянная, то функция cf также интегрируема и
                                   Z           Z
                                      cf dΩ = c f dΩ.
                                     Ω                       Ω
   3) Если g — интегрируемая функция, то и функции f ± g интегрируемы, причём
                             Z              Z        Z
                               (f ± g) dΩ =   f dΩ ±   g dΩ.
                               Ω                     Ω                 Ω
   4) Если g — интегрируемая функция и f 6 g и в области Ω, то
                                   Z         Z
                                      f dΩ 6    g dΩ.
                                         Ω               Ω
   5) Функция |f | также интегрируема и выполняется неравенство
                                     Z        Z
                                        f dΩ 6 |f | dΩ.
                                     Ω                   Ω
   6) Если m 6 f 6 M , то                    R
                                              Ω   f dΩ
                                    m6                 6 M.
                                                 µ(Ω)
  Замечание 2. Отношение, стоящее в середине последнего неравенства, называется средним
значением функции f в области Ω.

Вычисление кратных интегралов. Основной способ вычисления кратных интегралов — это
сведе́ние их к так называемым повторным. Возможность такого сведе́ния обеспечивается теоре-
мами 1 и 2, которые формулируются ниже.
  Теорема 1. Пусть область Ω ⊂ R2 ограничена:
   1) сверху графиком функции y = g(x);
   2) снизу графиком функции y = h(x);
   3) с боков прямыми x = a и x = b.