Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 2 стр.

2                   КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Рассмотрим также множество не пересекающихся параллелепипедов с объёмами Vi , объединение
которых содержит тело N , и положим
                                         X
                                     M=     ρ(ξ)Vi .
                                                        i
Тогда масса тела определена, если
                                                inf V = sup V
Она обозначается через                       ZZZ
                                        M=             ρ(x, y, z) dx dy dz
                                                   N
и называется тройным интегралом плотности ρ, взятым по телу N .
    Дадим теперь точные определения.
Двойные интегралы. Пусть D — квадрируемая область в R2 и u = f (x, y) — функция, опре-
делённая в этой области. Рассмотрим такую систему D = {Di } квадрируемых областей, что
                               Di ∩ Dj = ∅ при i 6= j,                    ∪i Di = D.
Пусть si — площадь i-й области, λ = max si и ξi = (xi , yi ) ∈ Di — произвольная точка области Di .
    Определение 1. Предел
                               ZZ                                 X
                                        f (x, y) dx dy = lim              f (xi , yi )si ,
                                    D                       λ→0
                                                                  i
если он существует, называется двойным интегралом функции f по области D. При этом сама
функция f называется интегрируемой в области D.
  Заметим, что предел, фигурирующий в определении 1, берётся по всевозможным квадрируе-
мым разбиениям D области D.

Тройные интегралы. Пусть D — кубируемая область в R3 и u = f (x, y, z) — функция, опреде-
лённая в этой области. Рассмотрим такую систему D = {Di } кубируемых областей, что
                               Di ∩ Dj = ∅ при i 6= j,                    ∪i Di = D.
Пусть vi — объём i-й области, λ = max vi и ξi = (xi , yi , zi ) ∈ Di — произвольная точка области Di .
    Определение 2. Предел
                        ZZZ                                       X
                                    f (x, y) dx dy dz = lim                f (xi , yi , zi )vi ,
                                D                           λ→0
                                                                      i
если он существует, называется тройным интегралом функции f по области D. При этом сама
функция f называется интегрируемой в области D.
  Заметим, что предел, фигурирующий в определении 2, берётся по всевозможным кубируемым
разбиениям D области D.

Простейшие свойства кратных интегралов. Как видно из сказанного выше, двойные и трой-
ные интегралы определяются почти одинаково — разница состоит в размерностях соответствую-
щих пространств и в понимании меры подмножеств в этих пространствах. На плоскости такой
мерой является площадь, а в трёхмерном пространстве — объём. Поэтому и свойства таких ин-
тегралов одинаковы. Чтобы эти свойства сформулировать, мы будем пользоваться следующей
терминологией:
    • квадрируемые или кубируемые области будут называться измеримыми;
    • их площадь или объём называться мерой, мера области Ω будет обозначаться через µ(Ω);