Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 17
Определение 12. Пусть S — ориентируемая поверх ность в R
3
, заданная параметрическими
уравнениями x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ Ω ⊂ R
2
, где Ω — некоторая область в R
2
,
и ω = A dxdy + B dxdz + C dydz — 2-форма. Величина
ZZ
Ω
ω|
S
=
ZZ
Ω
A(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∆
xy
+
+ B(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∆
xz
+ C(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∆
yz
dudv, (82)
где ∆
xy
, ∆
xz
и ∆
yz
— определители матриц
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
,
∂x
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂z
∂v
,
∂y
∂u
∂z
∂u
∂y
∂v
∂z
∂v
соответственно, называется поверхностным интегралом формы ω вдоль поверхности S.
Геометрический смысл поверхностного интеграла. Перрепишем правую часть равенства (82)
в виде
ZZ
Ω
A∆
xy
+ B∆
xz
+ C∆
yz
q
∆
2
xy
+ ∆
2
xz
+ ∆
2
yz
q
∆
2
xy
+ ∆
2
xz
+ ∆
2
yz
dudv (83)
и обозначим дробь, входящую в подынтегральное выражение через f (u, v). Тогда рассматривае-
мый интеграл примет вид
ZZ
Ω
f(u, v) dS, (84)
где
dS =
q
∆
2
xy
+ ∆
2
xz
+ ∆
2
yz
dudv. (85)
Величина dS, определяемая равенством (85), называется элементом площади поверхности, а
поверхностный интеграл, записанный в форме (84) — поверхностным интегралов первого типа
(в отличие он интегралов (82), которые называются поверхностными интегралами второго типа).
В частности, если f = 1, то величина
ZZ
Ω
dS (86)
выражает площадь рассматирваемой поверхности.
Физический смысл поверхностных интегралов станет ясен из материала § 4.
4. Векторный анализ (продолжение)
Замечание 7.
                    КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ                               17

  Определение 12. Пусть S — ориентируемая поверхность в R3 , заданная параметрическими
уравнениями x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ Ω ⊂ R2 , где Ω — некоторая область в R2 ,
и ω = A dxdy + B dxdz + C dydz — 2-форма. Величина
          ZZ         ZZ
               ω|S =       A(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∆xy +
             Ω          Ω
                                                                                      
                   + B(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∆xz + C(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∆yz dudv,    (82)
где ∆xy , ∆xz и ∆yz — определители матриц
                              ∂x ∂y     ∂x                 ∂z
                                                                           ∂y   ∂z
                                                                                       
                               ∂u  ∂u ,    ∂u                 ∂u       ,    ∂u    ∂u
                               ∂x  ∂y      ∂x                 ∂z            ∂y    ∂z
                                 ∂v     ∂v           ∂v       ∂v            ∂v    ∂v
соответственно, называется поверхностным интегралом формы ω вдоль поверхности S.
Геометрический смысл поверхностного интеграла. Перрепишем правую часть равенства (82)
в виде
                       A∆xy + B∆xz + C∆yz q 2
                  ZZ
                        q                  ∆xy + ∆2xz + ∆2yz dudv             (83)
                     Ω     2     2     2
                          ∆xy + ∆xz + ∆yz
и обозначим дробь, входящую в подынтегральное выражение через f (u, v). Тогда рассматривае-
мый интеграл примет вид              ZZ
                                         f (u, v) dS,                                  (84)
                                                    Ω
где                                          q
                                      dS =       ∆2xy + ∆2xz + ∆2yz dudv.                       (85)
Величина dS, определяемая равенством (85), называется элементом площади поверхности, а
поверхностный интеграл, записанный в форме (84) — поверхностным интегралов первого типа
(в отличие он интегралов (82), которые называются поверхностными интегралами второго типа).
   В частности, если f = 1, то величина     ZZ
                                                dS                                     (86)
                                                          Ω
выражает площадь рассматирваемой поверхности.
  Физический смысл поверхностных интегралов станет ясен из материала § 4.


  4. Векторный анализ (продолжение)
  Замечание 7.

Страницы