ВУЗ:
Рубрика:
16 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение 11. Пусть L — кривая в R
3
, заданная параметрическими уравнениями x = x(t),
y = y(t), z = z(t), t ∈ [t
0
, t
1
], и ω = A dx + B dy + C dz — 1-форма. Величина
Z
t
1
t
0
ω|
L
=
Z
t
1
t
0
A(x(t), y(t), z(t))
dx
dt
+ B(x(t), y(t), z(t))
dy
dt
+ CB(x(t), y(t), z(t))
dz
dt
dt (76)
называется криволинейным интегралом формы ω вдоль кривой L.
Криволинейный интеграл формы ω вдоль кривой L обозначается через
Z
L
ω.
Механический смысл криволинейного интеграла. Пусть на плоскости задано поле сил, т.е. к
каждой точке θ = (x, y) ∈ R
2
приложен вектор силы F = (A, B) с составляющими F
x
= A(x, y)
и F
y
= B(x, y). Тогда криволинейный интеграл
R
L
A dx + B dy выражает механическую работу
силы F , совершаемую вдоль плоской кривой L ⊂ R
2
.
Аналогичный смысл имеет криволинейный интеграл формы ω = A dx + B dy + C dz вдоль
пространственной кривой L ⊂ R
3
.
Геометрический смысл криволинейного интеграла. Перепишем правую часть равенства (75)
виде
Z
t
1
t
0
Ax
′
+ By
′
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
dt
и обозначим дробь, входящую в подынтегральное выражение че рез f (t). Тогда рассматриваемый
интеграл примет вид
Z
t
1
t
0
f(t) ds, (77)
где
ds =
p
(x
′
(t))
2
+ (y
′
(t))
2
dt. (78)
Величина ds, определяемая равенством (78), называется элементом длины дуги кривой, а кри-
волинейный интеграл, представленный в виде (77), — криволинейным интегралом первого типа
(в отличие от интегралов вида (75), которые принято называть криволинейными интегралами
второго типа).
В частности, если f = 1, то интеграл
Z
L
ds =
Z
t
1
t
0
p
(x
′
(t))
2
+ (y
′
(t))
2
dt (79)
представляет собой длину плоской кривой L.
Аналогично, в трёхмерном пространстве криволинейные интегралы первого типа имеют вид
Z
L
f(t) ds =
Z
t
1
t
0
f(t)
p
(x
′
(t))
2
+ (y
′
(t))
2
+ (z
′
(t))
2
dt, (80)
а длина пространственной кривой измеряется интегралом
Z
L
ds =
Z
t
1
t
0
p
(x
′
(t))
2
+ (y
′
(t))
2
+ (z
′
(t))
2
dt (81)
Поверхностные интегралы.
16 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение 11. Пусть L — кривая в R3 , заданная параметрическими уравнениями x = x(t),
y = y(t), z = z(t), t ∈ [t0 , t1 ], и ω = A dx + B dy + C dz — 1-форма. Величина
Z t1 Z t1
dx dy dz
ω|L = A(x(t), y(t), z(t)) + B(x(t), y(t), z(t)) + CB(x(t), y(t), z(t)) dt (76)
t0 t0 dt dt dt
называется криволинейным интегралом формы ω вдоль кривой L.
Криволинейный интеграл формы ω вдоль кривой L обозначается через
Z
ω.
L
Механический смысл криволинейного интеграла. Пусть на плоскости задано поле сил, т.е. к
каждой точке θ = (x, y) ∈ R2 приложен вектор силы
R F = (A, B) с составляющими Fx = A(x, y)
и Fy = B(x, y). Тогда криволинейный интеграл L A dx + B dy выражает механическую работу
силы F , совершаемую вдоль плоской кривой L ⊂ R2 .
Аналогичный смысл имеет криволинейный интеграл формы ω = A dx + B dy + C dz вдоль
пространственной кривой L ⊂ R3 .
Геометрический смысл криволинейного интеграла. Перепишем правую часть равенства (75)
виде
Z t1
Ax′ + By ′ p ′ 2
p (x ) + (y ′ )2 dt
t0 (x′ )2 + (y ′ )2
и обозначим дробь, входящую в подынтегральное выражение через f (t). Тогда рассматриваемый
интеграл примет вид
Z t1
f (t) ds, (77)
t0
где
p
ds = (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt. (78)
Величина ds, определяемая равенством (78), называется элементом длины дуги кривой, а кри-
волинейный интеграл, представленный в виде (77), — криволинейным интегралом первого типа
(в отличие от интегралов вида (75), которые принято называть криволинейными интегралами
второго типа).
В частности, если f = 1, то интеграл
Z Z t1 p
ds = (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt (79)
L t0
представляет собой длину плоской кривой L.
Аналогично, в трёхмерном пространстве криволинейные интегралы первого типа имеют вид
Z Z t1 p
f (t) ds = f (t) (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 dt, (80)
L t0
а длина пространственной кривой измеряется интегралом
Z Z t1 p
ds = (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 dt (81)
L t0
Поверхностные интегралы.
