Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

14 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Покажем, как дифференциальные формы преобразуются при заменах координат, ограничив-
шись для простоты случаем 1-форм. Пусть, как и выше, (y
1
, . . . , y
n
) — другие координаты в
пространстве R
n
и старые координаты x
1
, . . . , x
n
связаны с новыми соотношениями
x
1
= x
1
(y
1
, . . . , y
n
), . . . , x
n
= x
n
(y
1
, . . . , y
n
). (59)
Пусть ω = a
1
dx
1
+ ··· + a
n
dx
n
— представление формы в одних координатах и ρ = b
1
dy
1
+ ··· +
b
n
dy
n
— в других. Тогда выполняются равенства
b
i
= a
1
∂x
1
∂y
i
+ ··· + a
n
∂x
n
∂y
i
, (60)
или
ω =
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(y
1
, . . . , y
n
)
∗
ρ, (61)
где «звёздочка» обозначает транспонированную матрицу.
При преобразовании форм по правилу (61) также сохраняется свойство инвариантности диф-
ференциала:
Теорема 5. Пусть задана дифференцируемая функция u = f (x
1
, . . . , x
n
) и замена перемен-
ных (59). Проделаем два вычисления:
1) вычислим дифференциал функции f относительно переменных x и преобразуем получен-
ную 1-форму по правилу (61);
2) заменим в функции f переменные x на переменные y и вычислим дифференциал получен-
ной функции относительно новых переменных.
Результат будет одним и тем же.
Операции над формами и полями. Если A — векторное поле, а ω — i-форма, то по этой
паре всегда можно построить (i − 1)-форму ω(A), называемую подстановкой поля A в форму ω.
Нам понадобятся подстановки полей в 2- и 3-формы, и мы приведём необходимые формулы для
плоскости и трёхмерного пространства.
Пусть
A = X
∂
∂x
+ Y
∂
∂y
, ω = a dx dy.
Тогда
ω(X) = −aY dx + aX dy. (62)
Если A = X
∂
∂x
+ Y
∂
∂y
+ Z
∂
∂z
— поле в R
3
и
ω = a dx dy + b dx dz + c dy dz (63)
— 2-форма, то
ω(A) = −(aY + bZ) dx + (aX −cZ) dy + (bX + cY ) dz. (64)
Если же ω = a dx dy dz — 3-форма, то
ω(X) = aZ dx dy − aY dx dz + aX dy dz. (65)
Предложение 3. Пусть A = X
∂
∂x
+ Y
∂
∂y
+ Z
∂
∂z
— векторное поле в трёхмерном пространстве
и
Ω = dx dy dz. (66)
Сопоставим полю A дифференциальную 1-форму
ω
A
= X dx + Y dy + Z dz.
Тогда выполняется равенство
dω
A
= Ω(rot A), (67)
где поле rot A определено равенством (38).
Определение 9. Дифференциальная форма (66) называется формой объёма в R
3
.
14                  КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

  Покажем, как дифференциальные формы преобразуются при заменах координат, ограничив-
шись для простоты случаем 1-форм. Пусть, как и выше, (y1 , . . . , yn ) — другие координаты в
пространстве Rn и старые координаты x1 , . . . , xn связаны с новыми соотношениями
                           x1 = x1 (y1 , . . . , yn ), . . . , xn = xn (y1 , . . . , yn ).        (59)
Пусть ω = a1 dx1 + · · · + an dxn — представление формы в одних координатах и ρ = b1 dy1 + · · · +
bn dyn — в других. Тогда выполняются равенства
                                             ∂x1                  ∂xn
                                     bi = a1     + · · · + an          ,                     (60)
                                             ∂yi                  ∂yi
или
                                             D(x1 , . . . , xn ) ∗
                                                                
                                      ω=                            ρ,                       (61)
                                             D(y1 , . . . , yn )
где «звёздочка» обозначает транспонированную матрицу.
   При преобразовании форм по правилу (61) также сохраняется свойство инвариантности диф-
ференциала:
  Теорема 5. Пусть задана дифференцируемая функция u = f (x1 , . . . , xn ) и замена перемен-
ных (59). Проделаем два вычисления:
   1) вычислим дифференциал функции f относительно переменных x и преобразуем получен-
      ную 1-форму по правилу (61);
   2) заменим в функции f переменные x на переменные y и вычислим дифференциал получен-
      ной функции относительно новых переменных.
Результат будет одним и тем же.

Операции над формами и полями. Если A — векторное поле, а ω — i-форма, то по этой
паре всегда можно построить (i − 1)-форму ω(A), называемую подстановкой поля A в форму ω.
Нам понадобятся подстановки полей в 2- и 3-формы, и мы приведём необходимые формулы для
плоскости и трёхмерного пространства.
  Пусть
                                     ∂      ∂
                              A=X       +Y    ,    ω = a dx dy.
                                     ∂x    ∂y
Тогда
                                   ω(X) = −aY dx + aX dy.                            (62)
              ∂     ∂      ∂            3
  Если A = X ∂x + Y ∂y + Z ∂z — поле в R и
                                    ω = a dx dy + b dx dz + c dy dz                               (63)
— 2-форма, то
                     ω(A) = −(aY + bZ) dx + (aX − cZ) dy + (bX + cY ) dz.                         (64)
Если же ω = a dx dy dz — 3-форма, то
                             ω(X) = aZ dx dy − aY dx dz + aX dy dz.                               (65)
                                ∂               ∂        ∂
     Предложение 3. Пусть A = X ∂x +Y           ∂y   + Z ∂z — векторное поле в трёхмерном пространстве
и
                                    Ω = dx dy dz.                                                 (66)
Сопоставим полю A дифференциальную 1-форму
                                       ωA = X dx + Y dy + Z dz.
Тогда выполняется равенство
                                       dωA = Ω(rot A),                                            (67)
где поле rot A определено равенством (38).
     Определение 9. Дифференциальная форма (66) называется формой объёма в R3 .

Страницы