Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

12 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Наконец, если
A = X
∂
∂x
+ Y
∂
∂y
+ Z
∂
∂z
— поле на R
3
, то по нему можно построить другое векторное поле.
Определение 7. Ротором (или вихрем) векторного поля A в трёхмерном пространстве назы-
вается поле
rot A =
∂Z
∂y
−
∂Y
∂z
∂
∂x
+
∂X
∂z
−
∂Z
∂x
∂
∂y
+
∂Y
∂x
−
∂X
∂y
∂
∂z
. (38)
Ротор поля можно записать в более короткой форме. Для этого введём векторное поле
2
∇ =
∂
∂x
+
∂
∂y
+
∂
∂z
, (39)
называемое полем Гамильтона. Тогда
rot A = ∇ × A, (40)
где × обозначает векторное произведение.
Замечание 5. Поле Гамильтона удобно и для записи дивергенции и градиента в трёхмерном
случае. Именно,
div A = (∇, A), (41)
где скобки обозначают скалярное произведение, и
grad F = ∇ ·F, (42)
где «·» следует понимать как «умножение вектора справа на скаляр».
Дифференциальные формы. Понятие дифференциальной формы обобщает понятие диффе-
ренциала функции.
Определение 8. Выражение вида
ω = a
1
dx
1
+ ··· + a
n
dx
n
, (43)
где a
1
, . . . , a
n
— функции переменных x
1
, . . . , x
n
, называется дифференциальной 1-формой на про-
странстве R
n
.
В частности, на плоскости 1-формы имеют вид
ω = A(x, y) dx + B(x, y) dy, (44)
а в трёхмерном пространстве —
ω = A(x, y, z) dx + B(x, y, z) dy + C(x, y, z) dz. (45)
Кроме 1-форм, рассматриваются также 2-, 3- и т.д. n-формы в пространстве R
n
. Не у глубляясь
в общую теорию таких дифференциальных форм, укажем, что 2-формы на плоскости имеют вид
ω = X(x, y) dx dy, (46)
а 2- и 3-формы в трёхмерном пространстве представляются в виде
ω = A(x, y, z) dx dy + B(x, y, z) dx dz + C(x, y, z) dy dz (47)
и соответственно
ω = A(x, y, z) dx dy dz (48)
Замечание 6. Обычные функции от n переменных формально рассматривают как 0-формы
на пространстве R
n
.
2
Символ ∇ читается набла.
12                     КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

     Наконец, если
                                          ∂      ∂     ∂
                                            +Y
                                            A=X    +Z
                                         ∂x     ∂y     ∂z
— поле на R3 , то по нему можно построить другое векторное поле.
  Определение 7. Ротором (или вихрем) векторного поля A в трёхмерном пространстве назы-
вается поле             ∂Z   ∂Y  ∂    ∂X   ∂Z  ∂    ∂Y   ∂X  ∂
               rot A =      −        +      −        +      −        .             (38)
                         ∂y   ∂z ∂x      ∂z   ∂x ∂y      ∂x    ∂y ∂z
  Ротор поля можно записать в более короткой форме. Для этого введём векторное поле2
                                         ∂    ∂    ∂
                                    ∇=     +    +    ,                                            (39)
                                        ∂x ∂y ∂z
называемое полем Гамильтона. Тогда
                                                  rot A = ∇ × A,                                  (40)
где × обозначает векторное произведение.
  Замечание 5. Поле Гамильтона удобно и для записи дивергенции и градиента в трёхмерном
случае. Именно,
                                      div A = (∇, A),                               (41)
где скобки обозначают скалярное произведение, и
                                                  grad F = ∇ · F,                                 (42)
где «·» следует понимать как «умножение вектора справа на скаляр».

Дифференциальные формы. Понятие дифференциальной формы обобщает понятие диффе-
ренциала функции.
     Определение 8. Выражение вида
                                            ω = a1 dx1 + · · · + an dxn ,                         (43)
где a1 , . . . , an — функции переменных x1 , . . . , xn , называется дифференциальной 1-формой на про-
странстве Rn .
     В частности, на плоскости 1-формы имеют вид
                                           ω = A(x, y) dx + B(x, y) dy,                           (44)
а в трёхмерном пространстве —
                                 ω = A(x, y, z) dx + B(x, y, z) dy + C(x, y, z) dz.               (45)
   Кроме 1-форм, рассматриваются также 2-, 3- и т.д. n-формы в пространстве Rn . Не углубляясь
в общую теорию таких дифференциальных форм, укажем, что 2-формы на плоскости имеют вид
                                                ω = X(x, y) dx dy,                                (46)
а 2- и 3-формы в трёхмерном пространстве представляются в виде
                          ω = A(x, y, z) dx dy + B(x, y, z) dx dz + C(x, y, z) dy dz              (47)
и соответственно
                                              ω = A(x, y, z) dx dy dz                             (48)
  Замечание 6. Обычные функции от n переменных формально рассматривают как 0-формы
на пространстве Rn .
     2Символ ∇ читается набла.

Страницы