Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 13
Каждой i-форме можно сопоставить (i + 1)-форму, называемую её дифференциалом. Диффе-
ренциалы 0-форм задаются равенствами
df(x, y) =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy (49)
и
df(x, y, z) =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy +
∂f
∂z
dz, (50)
т.е. являются уже известными нам дифференциалами функций нескольких переменных. Диффе-
ренциалы 1-форм вычисляются по формулам
dω =
∂B
∂x
−
∂A
∂y
dx dy, (51)
если форма ω имеет вид (44), и
dω =
∂B
∂x
−
∂A
∂y
dx dy +
∂C
∂x
−
∂A
∂z
dx dz +
∂C
∂y
−
∂B
∂z
dy dz (52)
для форм вида (47).
Для форм (46) и (48) выполнено равенство
dω = 0. (53)
Пусть на плоскости задана кривая L, с параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t).
Тогда любую 1-форму (44) можно ограничить на эту кривую, полагая
ω|
L
=
A(x(t), y(t))
dx
dt
+ B(x(t), y(t))
dy
dt
dt (54)
Аналогично, формы вида (45) можно ограничивать на пространственные кривые
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
с помощью равенств
ω|
L
=
A(x(t), y(t), z(t))
dx
dt
+ B(x(t), y(t), z(t))
dy
dt
+ C(x(t), y(t), z(t))
dz
dt
dt (55)
Пусть теперь S — поверхность в R
3
, заданная уравнениями
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
На такую поверхность можно ограничивать как 1-формы (45), так и 2-формы (47). В случае форм
вида (45) имеем
ω|
S
=
A
∂x
∂u
+ B
∂y
∂u
+ C
∂z
∂u
du +
A
∂x
∂v
+ B
∂y
∂v
+ C
∂z
∂v
dv, (56)
а для форм (47) ограничение записывается в виде
ω|
S
=
A
∂x
∂u
∂y
∂v
−
∂x
∂v
∂y
∂u
+ B
∂x
∂u
∂z
∂v
−
∂x
∂v
∂z
∂u
+ C
∂y
∂u
∂z
∂v
−
∂y
∂v
∂z
∂u

du dv. (57)
В последних двух формулах коэффициенты A, B и C также считаются ограниченными на по-
верхность S, т.е. A = A(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и т.д.
Следующее утверждение отражает инвариантность дифференциала:
Теорема 4. Пусть S — поверхность в R
3
и ω — 1-форма. Тогда
(dω)|
S
= d
ω|
S
. (58)
                     КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ                             13

  Каждой i-форме можно сопоставить (i + 1)-форму, называемую её дифференциалом. Диффе-
ренциалы 0-форм задаются равенствами
                                                     ∂f      ∂f
                                       df (x, y) =      dx +    dy                              (49)
                                                     ∂x      ∂y
и
                                        ∂f      ∂f       ∂f
                                           dx +
                                 df (x, y, z) =    dy +     dz,                    (50)
                                        ∂x      ∂y       ∂z
т.е. являются уже известными нам дифференциалами функций нескольких переменных. Диффе-
ренциалы 1-форм вычисляются по формулам
                                        ∂B ∂A 
                                  dω =      −      dx dy,                          (51)
                                         ∂x   ∂y
если форма ω имеет вид (44), и
                     ∂B ∂A             ∂C   ∂A           ∂C   ∂B 
               dω =      −      dx dy +      −      dx dz +      −      dy dz                   (52)
                      ∂x     ∂y           ∂x   ∂z             ∂y   ∂z
для форм вида (47).
  Для форм (46) и (48) выполнено равенство
                                                   dω = 0.                                      (53)
    Пусть на плоскости задана кривая L, с параметрическими уравнениями
                                          x = x(t),      y = y(t).
Тогда любую 1-форму (44) можно ограничить на эту кривую, полагая
                                            dx                 dy 
                         ω|L = A(x(t), y(t))    + B(x(t), y(t))      dt                         (54)
                                             dt                 dt
Аналогично, формы вида (45) можно ограничивать на пространственные кривые
                                    x = x(t),      y = y(t),     z = z(t)
с помощью равенств
                                   dx                       dy                       dz 
          ω|L = A(x(t), y(t), z(t))    + B(x(t), y(t), z(t))    + C(x(t), y(t), z(t))      dt   (55)
                                    dt                       dt                       dt
    Пусть теперь S — поверхность в R3 , заданная уравнениями
                                x = x(u, v),      y = y(u, v),    z = z(u, v).
На такую поверхность можно ограничивать как 1-формы (45), так и 2-формы (47). В случае форм
вида (45) имеем
                          ∂x          ∂y       ∂z        ∂x       ∂y    ∂z 
                    ω|S = A       +B       +C        du + A      +B     +C      dv,         (56)
                             ∂u        ∂u       ∂u            ∂v     ∂v    ∂v
а для форм (47) ограничение записывается в виде
                   ∂x ∂y ∂x ∂y             ∂x ∂z     ∂x ∂z      ∂y ∂z ∂y ∂z 
          ω|S = A          −            +B            −          +C        −         du dv. (57)
                     ∂u ∂v    ∂v ∂u            ∂u ∂v     ∂v ∂u        ∂u ∂v ∂v ∂u
В последних двух формулах коэффициенты A, B и C также считаются ограниченными на по-
верхность S, т.е. A = A(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и т.д.
  Следующее утверждение отражает инвариантность дифференциала:
    Теорема 4. Пусть S — поверхность в R3 и ω — 1-форма. Тогда
                                                    
                                      (dω)|S = d ω|S .                                          (58)

Страницы