Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 11
определяет действие векторного поля A на функцию f . Результатом этого действия вновь явля-
ется функция тех же переменных. Заметим, что
a
i
= A(x
i
), i = 1, . . . , n,
так что векторное поле полностью определяется своим действием.
Пусть (y
1
, . . . , y
n
) — другие координаты в пространстве R
n
и старые координаты x
1
, . . . , x
n
связаны с новыми соотношениями
x
1
= x
1
(y
1
, . . . , y
n
), . . . , x
n
= x
n
(y
1
, . . . , y
n
).
Пусть
B = b
1
∂
∂y
1
+ ··· + b
n
∂
∂y
n
— запись поля A в новых координатах. Тогда имеют место равенства
a
i
=
∂x
i
∂y
1
b
1
+ ··· +
∂x
i
∂y
n
b
n
, i = 1, . . . , n, (30)
или
A =
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(y
1
, . . . , y
n
)
B, (31)
где
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(y
1
, . . . , y
n
)
=
∂x
1
∂y
1
. . .
∂x
1
∂y
n
. . . . . . . . . . . . . .
∂x
n
∂y
1
. . .
∂x
n
∂y
n
— якобиан рассматриваемой замены координат.
Каждой дифференцируемой функции n переменных можно сопоставить некоторое векторное
поле.
Определение 5. Пусть F = F (x
1
, . . . , x
n
) — дифференцируемая функция. Её градиентом на-
зывается векторное поле
grad F =
∂F
∂x
1
∂
∂x
1
+ ··· +
∂F
∂x
n
∂
∂x
n
. (32)
В частности, градиент функции двух переменных имеет вид
grad F =
∂F
∂x
∂
∂x
+
∂F
∂y
∂
∂y
, (33)
а градиент функции трёх переменных записывается в виде
grad F =
∂F
∂x
∂
∂x
+
∂F
∂y
∂
∂y
+
∂F
∂z
∂
∂z
. (34)
Заметим, что градиент функции F лежит на нормали к любой поверхности вида F = const в
соответствующей точке..
Наоборот, имея векторное поле, можно построить соответствующую ему функцию.
Определение 6. Пусть A — векторное поле вида (24). Его дивергенцией называется функция
div A =
∂A
1
∂x
1
+ ··· +
∂A
n
∂x
n
. (35)
В частности, у поля (25) дивергенцией является функция
div A =
∂X
∂x
+
∂Y
∂y
, (36)
а у поля (26) — функция
div A =
∂X
∂x
+
∂Y
∂y
+
∂Z
∂z
. (37)
                        КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ                              11

определяет действие векторного поля A на функцию f . Результатом этого действия вновь явля-
ется функция тех же переменных. Заметим, что
                                             ai = A(xi ),           i = 1, . . . , n,
так что векторное поле полностью определяется своим действием.
  Пусть (y1 , . . . , yn ) — другие координаты в пространстве Rn и старые координаты x1 , . . . , xn
связаны с новыми соотношениями
                                  x1 = x1 (y1 , . . . , yn ), . . . , xn = xn (y1 , . . . , yn ).
Пусть
                                                 ∂                     ∂
                                               B = b1+ · · · + bn
                                               ∂y1                  ∂yn
— запись поля A в новых координатах. Тогда имеют место равенства
                               ∂xi                  ∂xi
                          ai =     b1 + · · · +          bn ,         i = 1, . . . , n,             (30)
                               ∂y1                  ∂yn
или
                                              D(x1 , . . . , xn )
                                      A=                           B,                               (31)
                                               D(y1 , . . . , yn )
где
                                                      ∂x1                ∂x1 
                                                         ∂y      . . . ∂y
                              D(x1 , . . . , xn )          1                 n
                                                   = . . . . . . . . . . . . . .
                              D(y1 , . . . , yn )       ∂xn
                                                         ∂y1     . . . ∂x ∂yn
                                                                              n


— якобиан рассматриваемой замены координат.
  Каждой дифференцируемой функции n переменных можно сопоставить некоторое векторное
поле.
  Определение 5. Пусть F = F (x1 , . . . , xn ) — дифференцируемая функция. Её градиентом на-
зывается векторное поле
                                           ∂F ∂            ∂F ∂
                           grad F =                + ··· +         .                     (32)
                                          ∂x1 ∂x1          ∂xn ∂xn
   В частности, градиент функции двух переменных имеет вид
                                            ∂F ∂    ∂F ∂
                                   grad F =       +       ,                      (33)
                                            ∂x ∂x   ∂y ∂y
а градиент функции трёх переменных записывается в виде
                                        ∂F ∂    ∂F ∂    ∂F ∂
                              grad F =        +       +       .                  (34)
                                        ∂x ∂x   ∂y ∂y   ∂z ∂z
Заметим, что градиент функции F лежит на нормали к любой поверхности вида F = const в
соответствующей точке..
   Наоборот, имея векторное поле, можно построить соответствующую ему функцию.
   Определение 6. Пусть A — векторное поле вида (24). Его дивергенцией называется функция
                                                           ∂A1         ∂An
                                              div A =          + ··· +     .                        (35)
                                                           ∂x1         ∂xn
   В частности, у поля (25) дивергенцией является функция
                                                                ∂X   ∂Y
                                                   div A =         +    ,                           (36)
                                                                ∂x   ∂y
а у поля (26) — функция
                                                           ∂X   ∂Y   ∂Z
                                               div A =        +    +    .                           (37)
                                                           ∂x   ∂y   ∂z

Страницы