ВУЗ:
Рубрика:
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 9
Вычисление статических моментов. Статические моменты плоской фигуры относительно
осей x и y вычисляются по формулам
K
x
(P ) =
ZZ
P
yρ(x, y) dx dy, K
y
(P ) =
ZZ
P
xρ(x, y) dx dy, (16)
а статические моменты тела V относительно плоскостей xy, xz и yz — по формулам
K
xy
(V ) =
ZZZ
V
zρ(x, y) dx dy, dz, K
xz
(V ) =
ZZZ
V
yρ(x, y) dx dy dz, (17)
K
yz
(V ) =
ZZZ
V
xρ(x, y) dx dy dz.
Определение координат центра тяжести. Из предыдущего следует, что координаты центра
тяжести плоской фигуры имеют вид
ξ
x
=
RR
P
xρ(x, y) dx dy
RR
P
ρ(x, y) dx dy
, ξ
y
=
RR
P
yρ(x, y) dx dy
RR
P
ρ(x, y) dx dy
. (18)
Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам
ξ
x
=
RRR
V
xρ(x, y) dx dy dz
RRR
P
ρ(x, y, z) dx dy dz
, ξ
y
=
RRR
V
yρ(x, y) dx dy dz
RRR
P
ρ(x, y, z) dx dy dz
, ξ
z
=
RRR
V
zρ(x, y) dx dy, dz
RRR
P
ρ(x, y, z) dx dy dz
. (19)
Вычисление моментов инерции. Для вычисления моментов инерции плоской фигуры отно-
сительно осей x и y используются формулы
I
x
(P ) =
ZZ
P
y
2
ρ(x, y) dx dy, I
y
(P ) =
ZZ
P
x
2
ρ(x, y) dx dy, (20)
а моменты инерции тела относительно осей x y и z вычисляются по формулам
I
x
(V ) =
ZZZ
V
(y
2
+ z
2
)ρ(x, y) dx dy, dz, I
y
(V ) =
ZZZ
V
(x
2
+ y
2
)ρ(x, y) dx dy dz, (21)
I
z
(V ) =
ZZZ
V
(x
2
+ y
2
)ρ(x, y) dx dy dz.
Аналогичный вид имеют формулы для моментов инерции тела относительно координатных плос-
костей
I
xy
(V ) =
ZZZ
V
z
2
ρ(x, y) dx dy, dz, I
xz
(V ) =
ZZZ
V
y
2
ρ(x, y) dx dy dz, (22)
I
yz
(V ) =
ZZZ
V
x
2
ρ(x, y) dx dy dz.
Вычисление силы притяжения. В заключение рассмотрим задачу о вычислении силы при-
тяжения F = (F
x
, F
y
, F
z
) между телом V с плотностью массы ρ(x, y, x) материальной точкой A
с координатами (ξ, η, ζ) массы m. В силу закона Ньютона имеем
dF
x
=
x − ξ
r
2
ρ dV, dF
y
=
x − η
r
2
ρ dV, dF
z
=
x − ζ
r
2
ρ dV,
и поэтому
F
x
=
ZZZ
V
x − ξ
r
2
ρ dx dy dz, F
y
=
ZZZ
V
x − η
r
2
ρ dx dy dz, F
z
=
ZZZ
V
x − ζ
r
2
ρ dx dy dz, (23)
где
r =
p
(x − ξ)
2
+ (y − η)
2
+ (z −ζ)
2
.
Замечание 4. Заметим, что если точка A находится внутри притягивающего её тела, то ин-
тегралы (23) становятся несобственными.
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 9
Вычисление статических моментов. Статические моменты плоской фигуры относительно
осей x и y вычисляются по формулам
ZZ ZZ
Kx (P ) = yρ(x, y) dx dy, Ky (P ) = xρ(x, y) dx dy, (16)
P P
а статические моменты тела V относительно плоскостей xy, xz и yz — по формулам
ZZZ ZZZ
Kxy (V ) = zρ(x, y) dx dy, dz, Kxz (V ) = yρ(x, y) dx dy dz, (17)
V V
ZZZ
Kyz (V ) = xρ(x, y) dx dy dz.
V
Определение координат центра тяжести. Из предыдущего следует, что координаты центра
тяжести плоской фигуры имеют вид
RR RR
P xρ(x, y) dx dy yρ(x, y) dx dy
ξx = RR , ξy = RRP . (18)
P ρ(x, y) dx dy P ρ(x, y) dx dy
Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам
RRR RRR RRR
V xρ(x, y) dx dy dz V yρ(x, y) dx dy dz zρ(x, y) dx dy, dz
ξx = RRR , ξy = RRR , ξz = RRRV . (19)
P ρ(x, y, z) dx dy dz P ρ(x, y, z) dx dy dz P ρ(x, y, z) dx dy dz
Вычисление моментов инерции. Для вычисления моментов инерции плоской фигуры отно-
сительно осей x и y используются формулы
ZZ ZZ
2
Ix (P ) = y ρ(x, y) dx dy, Iy (P ) = x2 ρ(x, y) dx dy, (20)
P P
а моменты инерции тела относительно осей x y и z вычисляются по формулам
ZZZ ZZZ
2 2
Ix (V ) = (y + z )ρ(x, y) dx dy, dz, Iy (V ) = (x2 + y 2 )ρ(x, y) dx dy dz, (21)
V V
ZZZ
Iz (V ) = (x2 + y 2 )ρ(x, y) dx dy dz.
V
Аналогичный вид имеют формулы для моментов инерции тела относительно координатных плос-
костей
ZZZ ZZZ
2
Ixy (V ) = z ρ(x, y) dx dy, dz, Ixz (V ) = y 2 ρ(x, y) dx dy dz, (22)
V V
ZZZ
Iyz (V ) = x2 ρ(x, y) dx dy dz.
V
Вычисление силы притяжения. В заключение рассмотрим задачу о вычислении силы при-
тяжения F = (Fx , Fy , Fz ) между телом V с плотностью массы ρ(x, y, x) материальной точкой A
с координатами (ξ, η, ζ) массы m. В силу закона Ньютона имеем
x−ξ x−η x−ζ
dFx = ρ dV, dFy = ρ dV, dFz = ρ dV,
r2 r2 r2
и поэтому
x−ξ x−η x−ζ
ZZZ ZZZ ZZZ
Fx = 2
ρ dx dy dz, Fy = 2
ρ dx dy dz, Fz = ρ dx dy dz, (23)
V r V r V r2
где p
r = (x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2 .
Замечание 4. Заметим, что если точка A находится внутри притягивающего её тела, то ин-
тегралы (23) становятся несобственными.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
