Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7
и его определитель равен −
1
3
. Поскольку при замене (7) область интегрирования переходит в
прямоугольник
p 6 ξ 6 q, a 6 η 6 b,
искомая площадь равна
1
3
(q − p)(b − a).
Наиболее часто — особенно в приложениях кратных интегралов к физике и механике — в
качестве новых координат на плоскости выбирают полярные координаты, а в пространстве —
цилиндрические и сферические координаты.
Полярные координаты. Вычислим якобиан перехода от прямоугольных координат к поляр-
ным. Поскольку
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,
имеем
D(x, y)
D(r, ϕ)
=
∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
!
=
cos ϕ −r sin ϕ
sin ϕ r cos ϕ
. (8)
Значит, определитель этого якобиана равен r, т.е. переход к полярным координатам является
невырожденной заменой всюду, кроме начала координат.
Из проделанных вычислений следует формула для вычисления площади фигуры Ω в полярных
координатах:
S
Ω
=
ZZ
Ω
dx dy =
ZZ
Ω
′
r dr dϕ, (9)
где Ω
′
— область изменения координат r и ϕ при изменении координат x и y в области Ω.
Пример 8. Вычислим площадь Ω фигуры, ограниченной кривой
1
(x
2
+ y
2
)
2
= a
2
(x
2
− y
2
).
Переходя к полярным координатам, получаем уравнение лемнискаты в виде
r
2
= 2a
2
cos 2ϕ.
Поэтому искомая площадь есть
S
Ω
=
ZZ
Ω
dx dy =
ZZ
Ω
′
r dr dϕ = 2
Z π
4
−
π
4
dϕ
Z
a
√
2 cos 2ϕ
0
r dr = 2a
2
Z π
4
−
π
4
cos 2ϕ dϕ = 2a
2
.
Цилиндрические координаты. Рассмотрим трёхмерное пространство с координатами x, y и z
и выберем в плоскости (x, y) полярные координаты r и ϕ, а координату z оставим прежней. Такая
система координат в R
3
называется цилиндрической. Таким образом, переход от декартовой к
цилиндрической системе координат задаётся равенствами
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z (10)
и соответствующий якобиан имеет вид
D(x, y, z)
D(r, ϕ, z)
=
∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂x
∂z
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂z
∂z
∂r
∂z
∂ϕ
∂z
∂z
=
cos ϕ −r sin ϕ 0
sin ϕ r cos ϕ 0
0 0 1
(11)
и определитель равен r.
1
Эта кривая называется лемнискатой.
                    КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ                                                        7

и его определитель равен − 31 . Поскольку при замене (7) область интегрирования переходит в
прямоугольник
                                     p 6 ξ 6 q, a 6 η 6 b,
искомая площадь равна 13 (q − p)(b − a).

  Наиболее часто — особенно в приложениях кратных интегралов к физике и механике — в
качестве новых координат на плоскости выбирают полярные координаты, а в пространстве —
цилиндрические и сферические координаты.

Полярные координаты. Вычислим якобиан перехода от прямоугольных координат к поляр-
ным. Поскольку
                            x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,
имеем                                                   !
                                             ∂x    ∂x                              
                            D(x, y)          ∂r    ∂ϕ                cos ϕ −r sin ϕ
                                    =        ∂y    ∂y       =                         .                                   (8)
                            D(r, ϕ)          ∂r    ∂ϕ
                                                                     sin ϕ r cos ϕ
Значит, определитель этого якобиана равен r, т.е. переход к полярным координатам является
невырожденной заменой всюду, кроме начала координат.
  Из проделанных вычислений следует формула для вычисления площади фигуры Ω в полярных
координатах:
                                    ZZ           ZZ
                               SΩ =     dx dy =       r dr dϕ,                        (9)
                                              Ω                        Ω′
где Ω′ — область изменения координат r и ϕ при изменении координат x и y в области Ω.

  Пример 8. Вычислим площадь Ω фигуры, ограниченной кривой1
                                        (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ).
Переходя к полярным координатам, получаем уравнение лемнискаты в виде
                                              r 2 = 2a2 cos 2ϕ.
Поэтому искомая площадь есть
                                                   π                 √                           π
           ZZ          ZZ              Z
                                                   4
                                                            Z       a 2 cos 2ϕ               Z
                                                                                                 4
                                                                                         2
      SΩ =     dx dy =     r dr dϕ = 2                 dϕ                        r dr = 2a           cos 2ϕ dϕ = 2a2 .
                Ω            Ω′                   −π
                                                   4
                                                                0                            − π4



Цилиндрические координаты. Рассмотрим трёхмерное пространство с координатами x, y и z
и выберем в плоскости (x, y) полярные координаты r и ϕ, а координату z оставим прежней. Такая
система координат в R3 называется цилиндрической. Таким образом, переход от декартовой к
цилиндрической системе координат задаётся равенствами
                                  x = r cos ϕ,         y = r sin ϕ,          z=z                                         (10)
и соответствующий якобиан имеет вид
                                 ∂x          ∂x       ∂x
                                                                                 
                                        ∂r    ∂ϕ       ∂z          cos ϕ −r sin ϕ 0
                       D(x, y, z)      ∂y    ∂y       ∂y 
                                  =    ∂r    ∂ϕ       ∂z      =  sin ϕ r cos ϕ 0                                     (11)
                       D(r, ϕ, z)       ∂z    ∂z       ∂z             0      0    1
                                        ∂r    ∂ϕ       ∂z
и определитель равен r.

  1Эта кривая называется лемнискатой.

Страницы