Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Замена переменных. Очень часто вычисление кратных интегралов значительно упрощается
(как и в случае «обычных» интегралов) после замены переменных. Опишем, как изменяются
подынтегральные выражения при переходе от одних координат к другим. Вначале мы это сделаем
в общем виде, который относится и к двумерной (двойные интегралы), и к трёхмерной (тройные
интегралы) ситуации, а затем укажем, как общие формулы применяются к каждому конкретному
случаю.
Рассмотрим пространство R
n
, где n = 2 или 3, с координатами x
1
, . . . , x
n
и некоторую измери-
мую область Ω ⊂ R
n
. Пусть u = f(x
1
, . . . , x
n
) — интегрируемая в этой области функция и нам
нужно вычислить интеграл
Z
Ω
f dΩ. (3)
Рассмотрим также «второй экземпляр» того же пространства с координатами t
1
, . . . , t
n
и об-
ласть Ω
′
в нём. Сделаем замену переменных
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
n
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
n
), (4)
являющуюся невырожденной в области Ω
′
и такую,что
Ω = {(x
1
, . . . , x
n
) | x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
n
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
n
), (t
1
, . . . , t
n
) ∈ Ω
′
}.
Напомним, что невырожденность замены переменных (4) означает, что её якобиан
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(t
1
, . . . , t
n
)
=
∂x
1
∂t
1
∂x
2
∂t
1
. . .
∂x
n
∂t
1
∂x
1
∂t
2
∂x
2
∂t
2
. . .
∂x
n
∂t
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂x
1
∂t
k
∂x
2
∂
k
t
. . .
∂x
n
∂t
k
является невырожденной матрицей, т.е. её определитель
J(x, t) =
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(t
1
, . . . , t
n
)
(5)
отличен от нуля в области Ω
′
. Мы будем также считать, что все частные производные
∂x
i
∂t
j
непре-
рывны в области Ω
′
. Тогда можно утверждать следующее:
Теорема 3. Путь Ω и Ω
′
— области, связанные между собой невырожденной заменой перемен-
ных (4), u = f (x
1
, . . . , x
n
) — интегрируемая в области Ω функция и u
′
= f
′
(t
1
, . . . , t
n
) — функция
в области Ω
′
, имеющая вид
u
′
= f (ϕ
1
(t
1
, . . . , t
n
), . . . , ϕ
n
(t
1
, . . . , t
n
)).
Тогда справедливо равенство
Z
Ω
f dΩ =
Z
Ω
′
J(x, t)f
′
dΩ
′
, (6)
где J(x, t) — определитель якобиана рассматриваемой замены переменных.
Пример 7. Вычислим площадь криволинейного четырёхугольника, ограниченного параболами
y
2
= px, y
2
= qx, x
2
= ay, x
2
= by, 0 < p < q, 0 < a < b,
воспользовавшись тем, что площадь квадрируемой области Ω есть
RR
Ω
dΩ. С этой целью рассмот-
рим новые координаты ξ и η, связанные с координатами x и y равенствами
x =
3
p
ξη
2
, y =
3
p
ξ
2
η. (7)
Якобиан замены переменных (7) имеет вид
∂x
∂ξ
∂x
∂η
∂y
∂ξ
∂y
∂η
!
=
1
3
ξ
−
2
3
η
2
3
2
3
ξ
1
3
η
−
1
3
2
3
ξ
−
1
3
η
1
3
1
3
ξ
2
3
η
−
2
3
!
6                       КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Замена переменных. Очень часто вычисление кратных интегралов значительно упрощается
(как и в случае «обычных» интегралов) после замены переменных. Опишем, как изменяются
подынтегральные выражения при переходе от одних координат к другим. Вначале мы это сделаем
в общем виде, который относится и к двумерной (двойные интегралы), и к трёхмерной (тройные
интегралы) ситуации, а затем укажем, как общие формулы применяются к каждому конкретному
случаю.
   Рассмотрим пространство Rn , где n = 2 или 3, с координатами x1 , . . . , xn и некоторую измери-
мую область Ω ⊂ Rn . Пусть u = f (x1 , . . . , xn ) — интегрируемая в этой области функция и нам
нужно вычислить интеграл                        Z
                                                                     f dΩ.                                                             (3)
                                                                 Ω
Рассмотрим также «второй экземпляр» того же пространства с координатами t1 , . . . , tn и об-
ласть Ω′ в нём. Сделаем замену переменных
                                     x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tn ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tn ),                                   (4)
являющуюся невырожденной в области Ω′ и такую,что
          Ω = { (x1 , . . . , xn ) | x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tn ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tn ), (t1 , . . . , tn ) ∈ Ω′ }.
Напомним, что невырожденность замены переменных (4) означает, что её якобиан
                                                                                   
                                                ∂x1       ∂x2                 ∂xn
                                                ∂t1       ∂t1       . . .     ∂t1
                         D(x1 , . . . , xn )  ∂x
                                                ∂t
                                                   1      ∂x2
                                                          ∂t        . . .     ∂xn 
                                                                              ∂t2 
                                             = 2            2
                         D(t1 , . . . , tn )  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                                                                    
                                                ∂x1       ∂x2
                                                ∂tk       ∂k t      . . . ∂x  ∂tk
                                                                                  n


является невырожденной матрицей, т.е. её определитель
                                                                  D(x1 , . . . , xn )
                                                   J(x, t) =                                                                           (5)
                                                                  D(t1 , . . . , tn )
                                                                                                                              ∂xi
отличен от нуля в области Ω′ . Мы будем также считать, что все частные производные                                            ∂tj   непре-
рывны в области Ω′ . Тогда можно утверждать следующее:
   Теорема 3. Путь Ω и Ω′ — области, связанные между собой невырожденной заменой перемен-
ных (4), u = f (x1 , . . . , xn ) — интегрируемая в области Ω функция и u′ = f ′ (t1 , . . . , tn ) — функция
в области Ω′ , имеющая вид
                                       u′ = f (ϕ1 (t1 , . . . , tn ), . . . , ϕn (t1 , . . . , tn )).
Тогда справедливо равенство                        Z             Z
                                                       f dΩ =             J(x, t)f ′ dΩ′ ,                                             (6)
                                                   Ω                 Ω′
где J(x, t) — определитель якобиана рассматриваемой замены переменных.
    Пример 7. Вычислим площадь криволинейного четырёхугольника, ограниченного параболами
                   y 2 = px,      y 2 = qx,        x2 = ay,        x2 = by,
                                                         0 < p < q, 0 < a < b,
                                                                RR
воспользовавшись тем, что площадь квадрируемой области Ω есть Ω dΩ. С этой целью рассмот-
рим новые координаты ξ и η, связанные с координатами x и y равенствами
                                      p            p
                                  x = 3 ξη 2 , y = 3 ξ 2 η.                           (7)
Якобиан замены переменных (7) имеет вид
                                    !                                                          !
                                              ∂x       ∂x          1 − 32 32       2 31 − 31
                                              ∂ξ       ∂η
                                                            =      3ξ 1η1          3ξ η
                                              ∂y       ∂y          2 −3 3          1 32 − 32
                                              ∂ξ       ∂η          3ξ    η         3ξ η

Страницы