ВУЗ:
Рубрика:
8 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пример 9. Рассмотрим тело Ω, ограниченное снизу эллиптическим параболоидом
x
2
+ y
2
= 2pz, p > 0,
а сверху — плоскостью z = a, a > 0. В цилиндрических координатах этот параболоид задаётся
уравнением r
2
= 2pz, а тело, объём которого мы вычисляем — условиями
0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6
p
2pa,
r
2
2p
6 z 6 a.
Поэтому
V =
ZZZ
Ω
dx dy dz =
ZZZ
Ω
′
r dϕ dr dz =
Z
2π
0
dϕ
Z
√
2pa
0
r dr
Z
a
r
2
2p
dz =
= 2π
Z
√
2pa
0
r
a −
r
2
2p
dr = πa
2
p.
Сферические координаты. Координаты r, ϕ и ψ в R
3
, связанные со стандартными прямо-
угольными соотношениями
x = r sin ϕ cos ψ, y = r sin ϕ sin ψ, z = r cos ϕ (12)
называются сферическими. Якобианом замены перехода к сферическим координатам является
D(x, y, z)
D(r, ϕ, ψ)
=
∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂x
∂ψ
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂ψ
∂z
∂r
∂z
∂ϕ
∂z
∂ψ
=
sin ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ψ
r cos ϕ cos ψ r cos ϕ sin ψ −r sin ϕ
−r sin ϕ sin ψ r sin ϕ cos ψ 0
, (13)
и его определитель равен r
2
sin ϕ. Значит, замена (12) является невырожденной при r 6= 0, ϕ 6= 0
и ϕ 6= π.
Пример 10. Вычислим объём тела, ограниченного поверхностью
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
= a
3
z.
В сферических координатах эта поверхность задаётся уравнением
r = a
3
√
cos ϕ,
и в силу её симметричности имеем
V = 4
Z π
2
0
dψ
Z π
2
0
dϕ
Z
a
3
√
cos ϕ
0
r
2
sin ϕ dr =
2
3
πa
3
Z π
2
0
sin ϕ cos ϕ dϕ =
1
3
πa
3
.
Приложения. Обсудим приложения кратных интегралов к решению механических задач.
Вычисление массы тела. Пусть задана плоская фигура P , масса которой распределена с непре-
рывной плотностью ρ = ρ(x, y). Тогда масса этой фигуры вычисляется по формуле
M
P
=
ZZ
P
ρ(x, y) dx dy. (14)
Аналогично, для тела V ⊂ R
3
имеем
M
V
=
ZZZ
P
ρ(x, y, z) dx dy dz. (15)
8 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пример 9. Рассмотрим тело Ω, ограниченное снизу эллиптическим параболоидом
x2 + y 2 = 2pz, p > 0,
а сверху — плоскостью z = a, a > 0. В цилиндрических координатах этот параболоид задаётся
уравнением r 2 = 2pz, а тело, объём которого мы вычисляем — условиями
p r2
0 6 ϕ 6 2π, 06r6 2pa, 6 z 6 a.
2p
Поэтому
√
ZZZ ZZZ Z 2π Z 2pa Z a
V = dx dy dz = r dϕ dr dz = dϕ r dr dz =
r2
Ω Ω′ 0 0 2p
√
2pa
r2
Z
= 2π r a− dr = πa2 p.
0 2p
Сферические координаты. Координаты r, ϕ и ψ в R3 , связанные со стандартными прямо-
угольными соотношениями
x = r sin ϕ cos ψ, y = r sin ϕ sin ψ, z = r cos ϕ (12)
называются сферическими. Якобианом замены перехода к сферическим координатам является
∂x ∂x ∂x
∂r ∂ϕ ∂ψ sin ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ψ
D(x, y, z)
= ∂y ∂y ∂y
∂ψ =
r cos ϕ cos ψ r cos ϕ sin ψ −r sin ϕ , (13)
D(r, ϕ, ψ) ∂r ∂ϕ
∂z ∂z ∂z −r sin ϕ sin ψ r sin ϕ cos ψ 0
∂r ∂ϕ ∂ψ
и его определитель равен r 2 sin ϕ. Значит, замена (12) является невырожденной при r 6= 0, ϕ 6= 0
и ϕ 6= π.
Пример 10. Вычислим объём тела, ограниченного поверхностью
(x2 + y 2 + z 2 )2 = a3 z.
В сферических координатах эта поверхность задаётся уравнением
√
r = a 3 cos ϕ,
и в силу её симметричности имеем
Z π Z π Z a√
3 cos ϕ Z π
2 2 2 2 1
V =4 dψ dϕ r 2 sin ϕ dr = πa3 sin ϕ cos ϕ dϕ = πa3 .
0 0 0 3 0 3
Приложения. Обсудим приложения кратных интегралов к решению механических задач.
Вычисление массы тела. Пусть задана плоская фигура P , масса которой распределена с непре-
рывной плотностью ρ = ρ(x, y). Тогда масса этой фигуры вычисляется по формуле
ZZ
MP = ρ(x, y) dx dy. (14)
P
Аналогично, для тела V ⊂ R3 имеем
ZZZ
MV = ρ(x, y, z) dx dy dz. (15)
P
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
