Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 10 стр.

10                   КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

     2. Векторный анализ
  Векторный анализ, или, как его ещё называют, теория поля, — важнейшая составляющая
современной математики и физики. Основными понятиями этой теории являются векторные поля
и дифференциальные формы.
Векторные поля. Рассмотрим пространство Rn и предположим, что к каждой точке θ этого
пространства приложен некоторый вектор Aθ .
  Определение 3. Множество A = { Aθ | θ ∈ Rn }, где Aθ — вектор, приложенный к точке θ,
называется векторным полем на пространстве Rn .
  Элементы базиса пространства векторов, приложенных к произвольной точке θ ∈ Rn , принято
обозначать через
                                        ∂         ∂
                                           ,...,     .
                                       ∂x1       ∂xn
Таким образом, любое векторное поле на Rn записывается в виде
                                                  ∂                ∂
                                       A = a1        + · · · + an     ,                               (24)
                                                 ∂x1              ∂xn
где a1 , . . . , an — произвольные функции переменных x1 , . . . , xn , называемые коэффициентами век-
торного поля X. Таким образом, векторные поля — это линейные комбинации частных производ-
ных. Например, любое поле на плоскости можно записать в виде
                                                      ∂     ∂
                                            A=X          +Y    ,                                      (25)
                                                      ∂x    ∂y
где X = X(x, y), Y = Y (x, y), а в трёхмерном пространстве — в виде
                                                  ∂     ∂    ∂
                                       A=X           +Y    +Z ,                                       (26)
                                                  ∂x    ∂y   ∂z
где X, Y и Z — функции переменных x, y, z.
     Определение 4. Кривая L в пространстве Rn , заданная параметрическими уравнениями
                                       x1 = x1 (t), . . . , xn = xn (t),
называется интегральной кривой векторного поля A (или его траекторией), если в каждой точ-
ке θ этой кривой коэффициенты поля A имеют вид
                                               dx1                dxn
                                        a1 =       , . . . , an =     .
                                                dt                 dt
  Иными словами, кривая L является траекторией, если в каждой её точке вектор скорости этой
кривой совпадает с соответствующим вектором рассматриваемого поля.
  Для каждого вектора v = (a1 , . . . , an ), приложенного к некоторой точке θ = (θ1 , . . . , θn ), то для
любой функции u = f (x1 , . . . , xn ), определённой и дифференцируемой в окрестности этой точки,
можно определить производную по направлению вектора v:
                                         v(f ) = lim f (θ+tv)−f
                                                            t
                                                                (θ)
                                                                    .                                 (27)
                                                    t→0

При этом выполняется равенство
                                                 ∂f (θ)              ∂f (θ)
                                    v(f ) = a1          + · · · + an        .                         (28)
                                                  ∂x1                 ∂xn
Поэтому, если задано векторное поле A и функция u = f (x1 , . . . , xn ) — функция, то формула
                                                   ∂f               ∂f
                                      A(f ) = a1       + · · · + an                                   (29)
                                                   ∂x1              ∂xn