Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5
Тогда существует интеграл
Z
D
I(x, y) dx dy =
Z
D
dx dy
Z
g(x,y)
h(x,y)
f(x, y, z) dz
и выполняется равенство
Z
Ω
f dΩ =
Z
D
dx dy
Z
g(x,y)
h(x,y)
f(x, y, z) dz. (2)
Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению
простого и двойного интегралов, а двойной, в свою очередь, можно вычислить с помощью теоре-
мы 1.
Пример 5. Пусть Ω — параллелепипед вида
0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b, 0 6 z 6 c
и u = x
2
+ y
2
+ z
2
. Пусть также Ω
′
— это прямоугольник
0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b,
лежащий в плоскости (z, y). Тогда
ZZZ
Ω
(x
2
+ y
2
+ z
2
) dx dy dz =
ZZ
Ω
′
dx dy
Z
c
0
(x
2
+ y
2
+ z
2
) dz =
ZZ
Ω
′
(x
2
+ y
2
)c +
c
3
3
dx dy =
=
Z
a
0
dx
Z
b
0
(x
2
+y
2
)c+
c
3
3
dy =
Z
a
0
x
2
bc+
b
3
c
3
+
bc
3
3
dx =
a
3
bc + ab
3
c + abc
3
3
=
abc
3
(a
2
+b
2
+c
2
).
Пример 6. Пусть область Ω является тетраэдром, ограниченным плоскостями
x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1
и
I =
ZZZ
Ω
dx dy dz
(1 + x + y + z)
3
.
Тогда в силу теорем 1 и 2 имеем
I =
Z
1
0
dx
Z
1−x
0
dy
Z
1−x−y
0
dz
(1 + x + y + z)
3
.
Но
Z
1−x−y
0
dz
(1 + x + y + z)
3
=
1
2
1
(1 + x + y)
2
−
1
4
и поэтому
I =
Z
1
0
dx
Z
1−x
0
1
2
1
(1 + x + y)
2
−
1
4
dy.
Вычислим внутренний интеграл:
Z
1−x
0
1
2
1
(1 + x + y)
2
−
1
4
dy =
1
2
1
x + 1
−
3 − x
4
,
и поэтому
I =
1
2
Z
1
0
1
x + 1
−
3 − x
4
dx =
1
2
ln 2 −
5
8
.
                                  КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ                                                                                             5

Тогда существует интеграл
                        Z                                                               Z                   Z     g(x,y)
                                                     I(x, y) dx dy =                             dx dy                     f (x, y, z) dz
                                                 D                                          D                   h(x,y)
и выполняется равенство
                                                     Z                         Z                     Z    g(x,y)
                                                             f dΩ =                     dx dy                      f (x, y, z) dz.                                         (2)
                                                         Ω                        D                      h(x,y)

  Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению
простого и двойного интегралов, а двойной, в свою очередь, можно вычислить с помощью теоре-
мы 1.

    Пример 5. Пусть Ω — параллелепипед вида
                                                         0 6 x 6 a,                        0 6 y 6 b,              06z6c
и u = x2 + y 2 + z 2 . Пусть также Ω′ — это прямоугольник
                                                                          0 6 x 6 a,                  0 6 y 6 b,
лежащий в плоскости (z, y). Тогда
                                                                                            c
                                                                                                                                                                c3 
    ZZZ                                                  ZZ                            Z                                         ZZ        
                     (x2 + y 2 + z 2 ) dx dy dz =                         dx dy                 (x2 + y 2 + z 2 ) dz =                         (x2 + y 2 )c +        dx dy =
                 Ω                                                   Ω′                 0                                             Ω′                        3
             a      Z b                       Z a
                                     c3                  b3 c bc3       a3 bc + ab3 c + abc3
     Z
                                                                                                 abc 2 2 2
=                dx     (x2 +y 2 )c+      dy =     x2 bc+     +      dx =                      =    (a +b +c ).
         0           0               3          0          3    3                  3              3
    Пример 6. Пусть область Ω является тетраэдром, ограниченным плоскостями
                                                     x = 0,               y = 0,                z = 0,          x+y+z = 1
и                                                                              ZZZ
                                                                                                dx dy dz
                                                                     I=                                      .
                                                                                        Ω   (1 + x + y + z)3
Тогда в силу теорем 1 и 2 имеем
                              Z 1    Z                                         1−x              Z    1−x−y
                                                                                                                       dz
                          I=      dx                                                    dy                                       .
                                                         0                 0                     0              (1 + x + y + z)3
Но
                                                 1−x−y
                                                                                1     1        1
                                         Z
                                                                    dz
                                                                              =               −
                                             0               (1 + x + y + z)3   2 (1 + x + y)2 4
и поэтому
                                                                     1                1−x
                                                                                            1     1        1
                                                             Z                Z
                                                  I=                     dx                               −    dy.
                                                                 0                0         2 (1 + x + y)2 4
Вычислим внутренний интеграл:
                    Z 1−x 
                          1                                 1        1      1 1    3 − x
                                                                   −    dy =       −        ,
                                        0            2 (1 + x + y)2 4        2 x+1     4
и поэтому
                                                                     1
                                                1                          1    3 − x      1       5
                                                             Z
                                             I=                               −        dx =   ln 2 − .
                                                2                0        x+1     4         2       8

Страницы