ВУЗ:
Рубрика:
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 15
Вторая операция, которая нам понадобится — это действие векторных полей на дифферен-
циальные формы. В трёхмерном пространстве это действие определяется следующим образом.
Если ω = a dx + b dy + c dz — 1-форма, то
A(ω) =
X
∂a
∂x
+ Y
∂a
∂y
+ Z
∂a
∂z
+ a
∂X
∂x
+ b
∂Y
∂x
+ c
∂Z
∂x
dx+
+
X
∂b
∂x
+ Y
∂b
∂y
+ Z
∂b
∂z
+ a
∂X
∂y
+ b
∂Y
∂y
+ c
∂Z
∂y
dy+
+
X
∂c
∂x
+ Y
∂c
∂y
+ Z
∂c
∂z
+ a
∂X
∂z
+ b
∂Y
∂z
+ c
∂Z
∂z
dz. (68)
Для 2-формы ω = a dx dy + b dx dz + c dy dz имеем
A(ω) =
X
∂a
∂x
+ Y
∂a
∂y
+ Z
∂a
∂z
+ a
∂X
∂x
+ a
∂Y
∂y
+ b
∂Z
∂y
− c
∂Z
∂x
dx dy+
+
X
∂b
∂x
+ Y
∂b
∂y
+ Z
∂b
∂z
+ a
∂Y
∂z
+ b
∂X
∂x
+ b
∂Z
∂z
− c
∂Y
∂x
dx dz+
+
X
∂c
∂x
+ Y
∂c
∂y
+ Z
∂c
∂z
− a
∂X
∂z
+ b
∂X
∂y
+ c
∂Y
∂y
+ c
∂Z
∂z
dy dz. (69)
Наконец, для 3-формы ω = a dx dy dz
A(ω) =
X
∂a
∂x
+ Y
∂a
∂y
+ Z
∂a
∂z
+ a
∂X
∂x
+ a
∂Y
∂y
+ a
∂Z
∂z
dx dy dz. (70)
Таким образом, действие векторных полей переводит i-формы в i-формы.
Для форм и полей на плоскости
A(ω) =
X
∂a
∂x
+ Y
∂a
∂y
+ a
∂X
∂x
+ b
∂Y
∂x
dx +
X
∂b
∂x
+ Y
∂b
∂y
+ a
∂X
∂y
+ b
∂Y
∂y
dy. (71)
и
A(ω) =
X
∂a
∂x
+ Y
∂a
∂y
+ a
∂X
∂x
+ a
∂Y
∂y
dx dy. (72)
Если в формуле (70) в качестве ω взять форму объёма, то мы получим следующее утверждение:
Предложение 4. Имеет место равенство
A(Ω) = (div A) · Ω, (73)
где Ω — форма объёма.
Следующий важнейший факт связывает между собой дифференциал формы, операцию под-
становки и действие векторного поля на форму:
Теорема 6. Для любой формы ω и векторного поля A выполняется равенство
A(ω) = d(ω(A)) + (dω)(A). (74)
3. Криволинейные и поверхностные интегралы
Криволинейные интегралы.
Определение 10. Пусть L — кривая в R
2
, заданная параметрическими у равнениями x = x(t),
y = y(t), t ∈ [t
0
, t
1
], и ω = A dx + B dy — 1-форма. Величина
Z
t
1
t
0
ω|
L
=
Z
t
1
t
0
A(x(t), y(t))
dx
dt
+ B(x(t), y(t))
dy
dt
dt (75)
называется криволинейным интегралом формы ω вдоль кривой L.
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 15
Вторая операция, которая нам понадобится — это действие векторных полей на дифферен-
циальные формы. В трёхмерном пространстве это действие определяется следующим образом.
Если ω = a dx + b dy + c dz — 1-форма, то
∂a ∂a ∂a ∂X ∂Y ∂Z
A(ω) = X +Y +Z +a +b +c dx+
∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂x
∂b ∂b ∂b ∂X ∂Y ∂Z
+ X +Y +Z +a +b +c dy+
∂x ∂y ∂z ∂y ∂y ∂y
∂c ∂c ∂c ∂X ∂Y ∂Z
+ X +Y +Z +a +b +c dz. (68)
∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ∂z
Для 2-формы ω = a dx dy + b dx dz + c dy dz имеем
∂a ∂a ∂a ∂X ∂Y ∂Z ∂Z
A(ω) = X +Y +Z +a +a +b −c dx dy+
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂y ∂x
∂b ∂b ∂b ∂Y ∂X ∂Z ∂Y
+ X +Y +Z +a +b +b −c dx dz+
∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂x
∂c ∂c ∂c ∂X ∂X ∂Y ∂Z
+ X +Y +Z −a +b +c +c dy dz. (69)
∂x ∂y ∂z ∂z ∂y ∂y ∂z
Наконец, для 3-формы ω = a dx dy dz
∂a ∂a ∂a ∂X ∂Y ∂Z
A(ω) = X +Y +Z +a +a +a dx dy dz. (70)
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
Таким образом, действие векторных полей переводит i-формы в i-формы.
Для форм и полей на плоскости
∂a ∂a ∂X ∂Y ∂b ∂b ∂X ∂Y
A(ω) = X +Y +a +b dx + X +Y +a +b dy. (71)
∂x ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
и ∂a ∂a ∂X ∂Y
A(ω) = X +Y +a +a dx dy. (72)
∂x ∂y ∂x ∂y
Если в формуле (70) в качестве ω взять форму объёма, то мы получим следующее утверждение:
Предложение 4. Имеет место равенство
A(Ω) = (div A) · Ω, (73)
где Ω — форма объёма.
Следующий важнейший факт связывает между собой дифференциал формы, операцию под-
становки и действие векторного поля на форму:
Теорема 6. Для любой формы ω и векторного поля A выполняется равенство
A(ω) = d(ω(A)) + (dω)(A). (74)
3. Криволинейные и поверхностные интегралы
Криволинейные интегралы.
Определение 10. Пусть L — кривая в R2 , заданная параметрическими уравнениями x = x(t),
y = y(t), t ∈ [t0 , t1 ], и ω = A dx + B dy — 1-форма. Величина
Z t1 Z t1
dx dy
ω|L = A(x(t), y(t)) + B(x(t), y(t)) dt (75)
t0 t0 dt dt
называется криволинейным интегралом формы ω вдоль кривой L.
