Эконометрика. Кравченко А.А. - 18 стр.

                   Глава 2. Множественная регрессия и корреляция

                       2.1. Теоретические основы
       Множественной регрессией называется уравнение связи y = f ( x1 , x2 ,..., xn )
между результативным признаком y и факторными признаками x 1 , x 2 ,..., x n .
Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид:
                               y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n ,
где a 1 , a 2 ,..., a n - коэффициенты регрессии, показывающие абсолютное
изменение результативного признака y под влиянием изменения
соответствующих факторных признаков на 1 единицу.
    Согласно методу наименьших квадратов требуется найти такие значения
коэффициентов a 1 , a 2 ,..., a n , которые бы минимизировали сумму квадратов
отклонений фактических значений признака от расчетных
                                  S = e12 + e22 + ... + en2 → min ,
где e i = y i − ~y i .
                                                  ~
       Рассмотрим случай двух факторных признаков y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 . Тогда
                                              ~
остатки в этом случае будут равны e i = y i − y i = y i − a 0 − a 1 x 1i − a 2 x 2i . Сумма
                                       n          n                    n
                                S = ∑ e i2 = ∑ (y i − ~y i ) = ∑ (y i − a − a 1 x 1i − a 2 x 2i ) → min
                                                                 2                           2

квадратов  остатков       i =1 i =1       i =1                  .
Необходимые условия первого порядка для минимума имеют следующий
вид:
                                                   ∂S
                                                        = 0,
                                                   ∂a 0
                                                   ∂S
                                                        = 0,
                                                    ∂
                                                   1a
                                                   ∂S
                                                        = 0.
                                                   ∂a 2
                      ∂S            n

                             = −2∑ (y i − a 0 − a 1 x 1i − a 2 x 2i ) = 0,
                      ∂a 0        i =1

                      ∂S          n

                             = −2∑ (y i − a 0 − a 1 x 1i − a 2 x 2i ) ⋅ x 1i = 0,
                       ∂a 1      i =1
                       ∂S           n
                             = −2∑ (y i − a 0 − a 1 x 1i − a 2 x 2i ) ⋅ x 2i = 0.
                       ∂a 2      i =1

Разделив каждое уравнение на (− 2n ) и переходя к средним, получим систему
трех линейных уравнений с тремя неизвестными a 0 , a 1 , a 2 :
                              y − a 0 − a 1 x 1 − a 2 x 2 = 0,
                             
                             x 1 y − a 0 x 1 − a 1 x 1 − a 2 x 1 x 2 = 0,
                                                      2

                             
                             x 2 y − a 0 x 21 − a 1 x 1 x 2 − a 2 x 2 = 0.
                                                                     2