Курс лекций по основам алгоритмизации и программирования задач машиностроения. Кравченко Д.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

24
итерацию (шаг). Предположим, что условие │f(x
0
)│≤ E не выполнилось. Реали-
зуем вторую итерацию. В рамках второй итерации сначала исследуем значения
функции y = f(x) на концах отрезков [a, x
0
] и [x
0
, b], которые появились в ре-
зультате деления отрезка [a, b] пополам точкой начального приближения x
0
с
первой итерации. Отрезок, на концах которого функция y = f(x) меняет свой
знак, принимается содержащим корень нелинейного уравнения. Предположим,
что условие f(a) · f(x
0
) < 0 не выполняется, а условие f(x
0
) · f(b) < 0 выполняется,
следовательно дальнейшее уточнение значения корня нужно вести на отрезке
[x
0
, b]. Для этого отрезок [x
0
, b], содержащий корень нелинейного уравнения,
делим пополам – x
1
= (x
0
+ b) / 2. Тем самым, найдена точка нового приближе-
ния со второй итерацией. Рассчитаем значение функции в этой точке f(x
1
) и
проверим выполнение условия │f(x
1
)│≤ E. Предположим, что условие выпол-
нилось, следовательно, искомое значение корня x
k
будет соответствовать при-
ближению x
1
со второй итерации (x
k
= x
1
). Если бы условие │f(x
1
)│≤ E не вы-
полнилось, то необходимо было бы реализовать следующую (третью) итерацию
по уточнению значения корня уравнения с нелинейной характеристикой x
k
ана-
логичную по своей структуре первой и второй.
Таким образом, итерационный процесс по методу деления отрезка пополам
будет продолжаться до тех пор, пока не выполнится условие │f(x
n
)│≤ E, где
x
n
– уточнение корня нелинейного уравнения с n-ой итерации. Количество ите-
раций зависит от степени точности E и длины исходного отрезка [a, b], который
содержит корень x
k
нелинейного уравнения. Чем выше степень точности E и
больше длина отрезка [a, b], тем больше число шагов для уточнения искомого
корня нужно выполнить, что предопределяет необходимость использования
ЭВМ для автоматизации процесса и сокращения затрат времени на решение по-
ставленной задачи. В соответствии с вышеизложенным, алгоритм метода деле-
ния отрезка пополам может быть представлен в виде блок-схемы на рис. 2.2.
Пример 8. Определить величину внешнего усилия N, воздействующего на
крепежный болт, изготовленный из стали 45, которое может выдержать этот
болт, если его диаметр d
1
= 3 мм:
σ⋅π
⋅
=
р
N4
d
1
,
где N – внешнее усилие (усилие растяжения болта), кгс; [σ
p
] – допустимое на-
пряжение при растяжении, кгс/мм
2
: [σ
p
] = 7,2 кгс/мм
2
– для стали 45; d
1
– внут-
ренний диаметр резьбы болта, мм. Степень точности E = 0,01.
РЕШЕНИЕ. При известных [σ
p
] = 7,2 кгс/мм
2
и заданном в качестве огра-
ничения d
1
= 3 мм, искомое значение N должно удовлетворять условию:
3N18,0 =⋅

Страницы