ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
38
равными нулю (частный случай), определитель D равен нулю (D = 0). Если
0
D
≠
, то система линейных уравнений будет иметь единственное решение.
При D = 0 система линейных уравнений либо не имеет решения, либо их будет
бесчисленное множество. Когда
0
D
≈
, система линейных уравнений называет-
ся плохо обусловленной.
Факт возможности или не возможности решить систему линейных уравне-
ний можно установить также по соотношениям между коэффициентами систе-
мы. Например, пусть нам дана система:
.
byaxa
byaxa
22221
11211
=⋅+⋅
=⋅+⋅
Решением этой системы являются координаты точки пересечения двух
прямых на плоскости. Возможны четыре случая:
1) прямые пересекаются (единственное решение);
2) прямые проходят параллельно друг другу (решения нет);
3) прямые совпадают (бесчисленное множество решений);
4) прямые проходят почти параллельно друг другу (нет определенности в
решении, координаты точки пересечения прямых чувствительны к изменениям
коэффициентов системы).
Первый случай реализуется при выполнении условия: ),aa()aa(
22122111
≠
при этом D получается не равным нулю
)
0
D
(
≠
. Второй случай реализуется
при выполнении условия: )bb()aa()aa(
2122122111
≠
=
, при этом D получается
равным нулю (D = 0). Третий случай характерен при выполнении условия:
)bb()aa()aa(
2122122111
=
=
, при этом D также получается равным нулю (D = 0).
Последний случай возникает, когда определитель матрицы А совокупности ко-
эффициентов
ij
a получается примерно равным (близким) нулю (
0
D
≈
).
Таким образом, перед тем как реализовать тот или иной метод решения
систем линейных уравнений, необходимо убедиться в возможности или невоз-
можности решения системы либо по значению D, либо через соотношения ме-
жду коэффициентами
ij
a матрицы А.
Методы решения систем линейных уравнений по принципам организации
вычислений делятся на два класса: прямые (точные) и итерационные (прибли-
женные). Прямыми называются методы, которые в предположении, что вычис-
ления ведутся без округлений, позволяют получить точное решение за конечное
число арифметических операций по известным расчетным формулам. К числу
таких методов относятся метод Крамера и метод Гаусса. Итерационные методы
даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, дают прибли-
женное решение системы с наперед заданной точностью. Точное решение в
данном случае теоретически может быть получено как результат бесконечного
процесса. Характерным представителем этого класса является метод Зейделя.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
