ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
79
Главный
член
погрешности
формулы
средних
прямоугольников
(22)
на
каждом
отрезке
[x
i-1
, x
i
]
равен
fh
24
1
3
i
′′
(x
i-1/2
).
Для формулы трапеций он равен fh
12
1
3
i
′′
− (x
i
), т. е. примерно вдвое
больше и имеет другой знак.
На основании этого можно записать уточненную формулу для вычисле-
ния определенного интеграла с использованием значений I1 и I2, вычислен-
ных по методам прямоугольников и трапеций:
I ≈ (2*I
прямоугольников
+ I
трапеций
) / 3 . (24)
Так как погрешность численного интегрирования определяется шагом раз-
биения, то уменьшая его, можно добиться большей точности вычисления инте-
грала.
Однако увеличение числа точек разбиения интервала не всегда возможно.
Особенно если функция задана в табличном виде.
Поэтому в такой ситуации повысить точность численного интегрирования
можно за счет повышения степени используемых интерполяционных много-
членов, как в методе Симпсона.
В методе Симпсона отрезок интегрирования [a, b]
разбивают на четное число n равных частей с шагом h.
На каждом отрезке [x
0
, x
2
], [x
2
, x
4
], …, [x
i-1
, x
i+1
], …, [x
i-2
,
x
n
] подынтегральную функцию f(x) заменяют интерполя-
ционным многочленом второй степени (рис. 5.5):
f(x) ≈ φ
i
(x) = a
i
x
2
+ b
i
x + c
i
,
x
i-1
≤ x ≤ x
i+1
Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут
быть найдены из условий равенства многочлена в точках
x
i
соответствующим табличным значениям функции y
i
.
В качестве φ
i
(x) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа
второй степени, проходящий через точки М
i-1
(x
i-1
, y
i-1
), М
i
(x
i
, y
i
), М
i+1
(x
i+1
, y
i+1
):
( )
(
)
(
)
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
.y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
x
1i
i1i1i1i
i1i
i
1ii1ii
1i1i
1i
1i1ii1i
1ii
i
+
+−+
−
+−
+−
−
+−−
+
×
−−
−−
+×
−−
−−
+
+×
−−
−
−
=ϕ
Элементарная площадь S
i
(рис. 5.5) может быть вычислена с помощью оп-
ределенного интеграла.
Рис. 5.5. Вид
криволинейной
трапеции
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
