Составители:
Рубрика:
35
Согласно (116) для формирования апостериорных плотностей вероятностей для ка-
ждой из выборок необходимо соответствующие функции правдоподобия перемно-
жить с функцией
()
aW . На рис. 33,б показаны кривые 1 и 2, полученные в результате
перемножения. Пунктиром показаны функции правдоподобия. Как видно из рис. 33,б
перемножение функций правдоподобия на априорную плотность смещает центры
тяжести первой и второй кривых в сторону наиболее априорно вероятных значений
амплитуды. Для формирования апостериорных плотностей вероятностей необходи-
мо провести нормировку кривых 1 и 2 делением на соответствующие значения W(X
i
),
чтобы площади, ограниченные кривыми и осью абсцисс, были равны единице.
Таким образом, анализ рис.33 показал, что априорное распределение вероят-
ностей корректирует искажающее влияние шумов. Следует отметить, что в резуль-
тате перемножения функции правдоподобия и априорного распределения вероятно-
стей получается кривая с более "острым пиком", чем каждая из них. Если
2
a
σ - дис-
персия априорного распределения,
2
мп
σ - параметр, характеризующий "остроту пика"
функции правдоподобия, то дисперсия апостериорной плотности вероятности будет
равна
2
мп
2
2
мп
2
2
σσ
σσ
σ
+
⋅
=
a
a
aX
.
3.3. Оптимальность метода максимального правдоподобия
Анализ выражения для среднего риска (108) показывает, что каждой паре
функций, определяющих априорное распределение вероятностей
()
aW и функцию
потерь
()
αα
)
,П , соответствует оптимальное решающее правило. Совокупность ре-
шающих правил для всевозможных функций
()
αα
)
,П и
()
aW образует класс байесо-
вых решающих правил. Класс решающих правил является полным, если любое ре-
шающее правило, не относящееся к этому классу, не может быть лучше, чем хотя
бы одно из правил данного класса. Иными словами - все самые хорошие решающие
правила принадлежат к данному классу. Американский статистик А. Вальд доказал
теорему о полноте класса байесовых решающих правил. Оказывается, оценивание
по методу максимального правдоподобия является оптимальным решающим прави-
лом для оценки случайного параметра, если априорное распределение параметра α
является равномерным, а функция потерь - простой, определяемой выражением
() ( )
[]
ααδαα
))
−−= 1П C, , (119)
где δ(⋅) – дельта функция; С - константа.
Функция потерь приписывает всем ошибкам
одинаковые потери и только, если оценка совпадает с
истинным значением параметра, то потери равны нулю
(рис. 34). Используя выражение для апостериорного
риска (111) для простой функции потерь, получим
()
[]
() ()
[]
∫
−=−−=
a
X/WCdX/WCR
X
Ω
αααααδ
))
11 . (120)
Оценка в (120) соответствует максимальному значению апостериорной плотности,
так как только при этом условии достигается минимум апостериорного риска. Если
априорное распределение параметра равномерно, то W(α/X)=C
1
W(X/α), где C
1
- кон-
станта. Тогда минимум R
X
соответствует α
)
, найденной из условия максимального
правдоподобия.
