Составители:
Рубрика:
34
Обозначая
1
2
2
1
CC
a
=⋅
πσ
, получим
()
()
N
aZ
N
a
aa
eeCX/aW
a
1
2
1
2
2
0
2Э
2
1
+−
−
−
=
σ
. (117)
Поскольку относительно параметра a показатель экспоненты является многочленом
второй степени, то можно сделать вывод, что апостериорная плотность вероятно-
стей является гауссовой кривой, а, значит, максимум плотности совпадает с центром
тяжести. Дифференцируя показатель степени (117) по a , приравниваем производ-
ную нулю. Из уравнения находим
опт
α
)
()
опт
11
2
0
0
2Э2
2
2
αα
σ
)
==+−
−
−
при
N
Z
N
a
aa
a
Оптимальная оценка при квадратичной функции потерь определяется выражением
+
+
=
2
1
2
0
1
опт
2
1
Э
2
a
a
N
N
Na
Z
σ
σ
α
)
. (118)
Из (118) следует, что оптимальный алгоритм оценивания амплитуды полностью из-
вестного сигнала сводится к вычислению корреляционного интеграла Z
1
, суммиро-
ванию его с параметром
2
0
2
a
Na σ и нормировке на величину
(
)
2
1
21Э
a
NN σ+ . Ана-
лиз (118) показывает, что, если априорная информация о параметре a мала, то
∞→
2
a
σ , тогда
11опт
ЭZ=α
)
- решающее правило совпадает с оценкой максималь-
ного правдоподобия. Если априорно параметр a известен с очень большой точно-
стью 0
2
→
a
σ , то a=
опт
α
)
и нет необходимости использовать выборочные данные.
Следует подчеркнуть важное обстоятельство. Функциональная запись опти-
мального алгоритма определяется не только принимаемой выборкой, но и парамет-
рами априорного распределения.
Сравнивая дисперсии оптимальной оценки и оценки максимального правдо-
подобия, можно сделать вывод, что дисперсия оптимальной оценки меньше, так как
при оптимальном оценивании вычисленное значение корреляционного интеграла (с
неслучайной поправкой) делится на большую величину.
+
=
N
N
a
1
2
1
2
мп
2
опт
Э
2
1
Э
σ
σ
σ
Полезно определить "вклады" априорного
распределения
()
aW и функции правдоподобия
()
a/XW в формировании оценки, рассматривая
разные варианты искажающего влияния
внутриприёмных шумов. На рис. 33,а изображены
априорное распределение вероятностей
амплитуды
()
aW и функции правдоподобия
()
a/XW
1
и
()
a/XW
2
для двух различных выборок
X
1
и X
2
. Искажающее влияние шумов таково, что
максимумы функций правдоподобия смещены для
первой выборки - в сторону малых значений
амплитуд, для второй - в сторону больших.
