Оценка параметров радиосигналов. Кречетов А.Д - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

32
как определяющую роль в его отыскании играет апостериорная плотность вероятно-
сти W(α/X), полученная на основе формулы Байеса.
3.1. Оптимальная оценка по минимуму среднеквадратичной ошибки
При квадратичной функции потерь согласно (111) подбором решающего правила не-
обходимо добиваться минимума
[]
()
∫
−=
α
Ω
α
αααα dXW)X(Rmin
X
)X(
2
)
)
. (112)
Из (112) следует, что оптимальная оценка формируется таким образом, что при каж-
дом значении выборки X обеспечивается минимум апостериорного риска.
Докажем, что значение оценки
опт
α
)
в этом случае является одним из пара-
метров апостериорной плотности вероятности W(α/X) и зависимость этого парамет-
ра от выборки X и определяет функциональную зависимость оценки от выборочных
данных α
)
= f(X). Найдём значение оценки α
)
, при котором R
X
(α
)
) имеет минимум
(рис. 31). Дифференцируя R
X
(α
)
) по α
)
и приравнивая производную нулю, оп-
ределяем
()
[]
()
опт
2
0
αααααα
αα
α
α
Ω
)))
))
)
==
−=
∫
приdX/W
d
d
d
dR
X
или
()()
02 =−
∫
α
Ω
αααα dX/W
)
() ()
∫∫
=
αα
ΩΩ
αααααα dX/WdX/W
)
;
так как
()
∫
Ω
=
α
αα 1dX/W , то
() ()
∫
Ω
==
α
αααα XfdX/W
опт
)
. (113)
Анализ (11З) показывает, что оптимальная оценка является параметром апостери-
орной плотности вероятности - её средним значением (рис.32). Иногда среднее зна-
чение называют "центром тяжести" апостериорной плотности вероятности.
На основании изложенного можно определить последовательность действий,
связанных с отысканием оптимального решающего правила при квадратичной функ-
ции потерь.
1. Интегрируя W(X,α)= W(α)W(X/α) по α, получаем безусловную плотность ве-
роятности выборочных данных смеси сигнала и шума - W(X).
2. Используя формулу Байеса, получаем функциональное выражение для апо-
стериорной плотности вероятности, зависящей от параметра α и выборки X,
W(α/X)=W(X,α)/W(X)

Страницы