Оценка параметров радиосигналов. Кречетов А.Д - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

31
ются функцией потерь П(α,α
)
) . Функция потерь П(α,α
)
) представляет собой априор-
ную оценку последствий принятия решения
()
X
α
v
в ситуации, характеризуемой непо-
средственно ненаблюдаемым параметром α. Но наблюдаемые данные X связаны с
параметром α вероятностным механизмом, который определён совместной плотно-
стью вероятности W(Х/α), поскольку W(Х/α)≠ W(α)·W(Х) Очевидно, потери будут тем
больше, чем больше отклонение оценки от истинного значения параметра. Поэтому
наиболее часто функция потерь зависит от (α-α
)
).
На рис. 30 представлена обычно используемая квадратичная функция потерь
()( )
.,
2
П
αααα
))
−=
(107)
Из рис.30 видно, что потери равны нулю, если α=α
)
и возрастают по квадратичному
закону при отклонении α
)
от α.
Поскольку выборочные данные X являются случайными
величинами, то случайными будут отклонения оценки α
)
от
истинного значения параметра α, а значит, случайной будет
величина потерь, получаемая при каждом измерении. За
качество оценивания удобно принять средние потери (средний
риск), учитывающие все возможные ситуации, связанные со
случайностью параметра α и выборочных данных Х. Средний риск для решающего
правила α
)
(Х)=f(X) определяется выражением
()
[]
()
∫∫
=
X
dXd,XWX,R
ΩΩ
α
αααα
)
П . (108)
Оптимальным считается такое решающее правило α
)
(Х)=f(X), для которого средние
потери минимальны. Для различных функций потерь в общем случае различными
будут и оптимальные решающие правила α
)
(Х)=f(X).
Определим одну из важных общих закономерностей, связанных с отысканием опти-
мального решающего правила. Учитывая формулу Байеса для совместной плотно-
сти вероятности W(Х/α), можно записать
()()( )()( )
X/WXW/XWW,XW αααα⋅=⋅= . (109)
Здесь W(α/X) - апостериорная плотность вероятности параметра описывает неопре-
делённость в значении α после фиксации наблюдаемой выборки X; W(X) - безуслов-
ная плотность вероятности выборочных данных при наличии сигнала и помехи.
Тогда средний риск (108) можно записать в виде
() ()
[]
()
∫∫
=
X
dXdX/WX,XWR
ΩΩ
α
αααα
)
П . (110)
Выражение в фигурных скобках представляет потери, усредненные по всем значе-
ниям α при данном наблюдении X . Эти потери получили название апостериорного
риска. Поскольку функция потерь П[α,α
)
(X)] и апостериорная плотность вероятности
W(α/X) неотрицательные функции от α, то интеграл в фигурных скобках есть неот-
рицательное число при любом фиксированном значении X. Если подбором решаю-
щего правила α
)
= f(X) мы будем добиваться минимума апостериорного риска, яв-
ляющегося множителем при плотности W(/X) в подынтегральной функции внешнего
интеграла, то тем самым мы будем добиваться и минимума среднего риска. Таким
образом, задача минимизации среднего риска путём подбора решающего правила α
)
= f(X) эквивалентна более простой задаче минимизации апостериорного риска
[]
()
∫
=
α
Ω
αα
αααα dXW)X(,minRmin
)X(
X
)X(
)
))
П . (111)
Из (111) следует, что апостериорная плотность вероятности даёт всю необходимую
информацию об измеряемом параметре. Оптимальное решающее правило α
)
= f(X),
найденное путём минимизации апостериорного риска, называется байесовым, так

Страницы