Составители:
Рубрика:
33
3. Используя формулу для среднего значения случайной величины с заданным
законом распределения, получаем функциональную зависимость среднего
значения апостериорной плотности вероятности от принимаемого выбороч-
ного значения X. Эта зависимость и определяет алгоритм оптимального оце-
нивания
() ( )
∫
===
α
Ω
ααααα )X(f)X(dX/Wm
X
)
.
Если удаётся установить, что апостериорная плотность вероятностей являет-
ся симметричной кривой, то есть её центр тяжести совпадает с максимальным зна-
чением плотности вероятностей, тогда можно избежать интегрирования в (113).
Отыскивая значение параметра, соответствующего максимуму апостериорной плот-
ности вероятностей, мы определим центр тяжести - оптимальную оценку при квад-
ратичной функции потерь. Используя полученное выражение для оптимального ре-
шающего правила
)X(f=α
)
, можно путём функционального преобразования полу-
чить совместную плотность вероятности оценки и оцениваемого параметра.
() ()
ααα
α
)
)
,WX,W
)X(f
→
=
.
Тогда величину среднего риска при квадратичной функции потерь можно записать в
виде
()()
∫∫
−=
αα
ΩΩ
αααααα
)
)))
dd,WR
2
. (114)
Из (114) следует, что минимум среднего риска при квадратичной функции потерь яв-
ляется минимумом среднеквадратичной ошибки. Поэтому оценку по центру тяжести
апостериорной плотности вероятности чаще называют оценкой по критерию мини-
мума среднеквадратичной ошибки.
3.2. Оптимальная оценка амплитуды полностью известного сигнала
Рассмотрим задачу оценки амплитуды полностью известного сигнала при условии,
что априорное распределение амплитуды является нормальным со средним значе-
нием
0
a и дисперсией
2
a
σ
()
()
2
2
0
2
2
2
1
a
aa
a
eW
σ
πσ
α
−
−
= (115)
Апостериорная плотность вероятностей амплитуды определяется выражением
()
() ( )
()
XW
a/XWaW
X/aW
⋅
= . (116)
Преобразуем правую часть (116) таким образом, чтобы функционально связать апо-
стериорную плотность вероятностей с отношением правдоподобия. Умножим числи-
тель и знаменатель на W(Х/0) - условную плотность вероятности выборочных дан-
ных при отсутствии сигнала. Тогда
()
() ( ) ( )
()( )
() ( )
()
()
a
XW
/XWaW
/XWXW
a/XW/XWaW
X/aW
X
λ
0
0
0
=
⋅
= .
Поскольку при фиксированной выборке X
()()
XW//XW 0 - константа, не зависящая
от параметра a , то
( ) () ()
aaWX/aW
X
λ=
, где
()
a
X
λ
- отношение правдоподобия для
полностью известного сигнала с амплитудой a , определяемое выражением (26). То-
гда
()
()
N
aZ
N
a
aa
a
eeCX/aW
a
1
2
1
2
2
0
2Э
2
2
2
1
+−
−
−
=
σ
πσ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
