Интегральное исчисление. Кривулин Н.П - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Интегрирование квадратного трехчлена
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
∫
+
+
+
dx
cbxax
BAx
2
(1),
∫
++
+
dx
cbxax
BAx
2
(2).
Рассмотрим интеграл (1). Если
0
≠
A
, то из числителя можно
выделить слагаемое b
x
+2
,
равное производной трехчлена, стоящего в
знаменателе. Тогда в результате преобразований получим:
∫∫∫
+
++
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
+
+
++
−++
dx
cbxx
bxAA
dx
cbxax
BAx
dx
cbxx
b
A
b
bx
2
2
22
2
2
2
)2(
∫∫
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+++=
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
cbxx
dxAb
Bcbxx
A
cbxax
dxAb
B
2
2
2
ln
2
2
2
Для вычисления последнего интеграла выделим полный квадрат, т.е.
представим трехчлен в виде:
42
2
2
2
b
c
b
xcbxx −+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=++
и в зависимости
от знака выражения
4
2
b
c −
получим один из табличных интегралов
вида:
∫
±
22
au
du
.
Пример 1.
∫∫∫
−
++
+
=
++
−+
=
++
−
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
134
)42(
2
3
134
8)42(
2
3
134
23
222
∫∫
=
++
+
−++=
++
−
9)2(
)2(
8134ln
2
3
134
8
2
2
2
x
xd
xxdx
xx
C
x
arctgxx +
+
−++=
3
2
3
8
134ln
2
3
2
                           Интегрирование квадратного трехчлена

    Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:

              Ax + B
        ∫
                                                           Ax + B
              2
            ax + bx + c
                        dx                  (1),
                                                     ∫   ax 2 + bx + c
                                                                       dx                    (2).



        Рассмотрим интеграл (1). Если A ≠ 0 , то из числителя можно
выделить слагаемое 2 x + b , равное производной трехчлена, стоящего в
знаменателе. Тогда в результате преобразований получим:
                                                     ⎛ 2b ⎞
                                        (2x + b) + ⎜     − b⎟
              Ax+ B                                                            2x + b
        ∫                           ∫                                      ∫ x + bx+ c dx+
                              A                      ⎝A ⎠              A
                         dx =                                   dx =
                                             2
            ax2 + bx + c
                                                                              2
                              2             x + bx + c                 2


                            ∫                                                               ∫
         ⎛    Ab ⎞     dx       A                  ⎛     Ab ⎞                                        dx
        +⎜B −    ⎟             = ln x 2 + bx + c + ⎜ B −    ⎟
         ⎝    2 ⎠ ax 2 + bx + c 2                  ⎝     2 ⎠                                    x 2 + bx + c
        Для вычисления последнего интеграла выделим полный квадрат, т.е.
                                                                              2
                                         ⎛    b⎞ 2     b2
представим трехчлен в виде: x + bx + c = ⎜ x + ⎟ + c −    и в зависимости
                                         ⎝    2 ⎠      4

                       b2
от знака выражения c −    получим один из табличных интегралов
                        4


        ∫u
                    du
вида:           2
                           .
                    ± a2
                                                     3
                                                       ( 2 x + 4) − 8
                             3x − 2                                                        ( 2 x + 4)
                    ∫                          ∫                                  ∫
                                                     2                     3
Пример 1.                               dx =                          dx =                             dx −
                         x 2 + 4 x + 13              x 2 + 4 x + 13        2            x 2 + 4 x + 13

                                                                                d ( x + 2)
            ∫                                                          ∫
                    8             3
        −        2
                             dx =   ln x 2 + 4 x + 13 − 8                                   =
                x + 4 x + 13      2                                          ( x + 2) 2 + 9
            3                    8      x+2
        =     ln x 2 + 4 x + 13 − arctg     +C
            2                    3       3

Страницы