Интегральное исчисление. Кривулин Н.П - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Подведение под знак дифференциала.
Данный метод основан на определении дифференциала функции
который определяется формулой
dxxfxdf )()(
'
=
. Исходя из опре-
деления дифференциала функции, можно отметить два очевидных, но
важных свойства дифференциала функции:
1.
))(()( a
x
f
d
x
df
±
=
.
2.
0)),((
1
)( ≠= СxСfd
С
xdf
Пример 1.
∫
+
dx
x
x
2
1
, замечаем, что производная знаменателя
()
xx 21
'
2
=+
отличается от числителя на постоянный множитель. Тогда
представив числитель в виде
x
2
2
, вносим
x
2 под знак дифференциала. В
результате получаем
)1(
2
1
2
xdxdx +=
.
И далее
(
)
()
∫∫
+
+
=
+
2
2
2
1
1
2
1
1 x
xd
dx
x
x
. Последний интеграл является
табличным. Действительно, введя замену
(
)
2
1 xu += , получим
∫
+= Cu
u
du
ln или, возвращаясь к старой переменной, окончательно
получим
()
(
)
CxCxdx
x
x
++=++=
+
∫
22
2
1ln1ln
2
1
1
.
Пример 2.
∫
∫
==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
)()(
11
22
arctgxarctgxdarctgxd
x
dx
dx
x
arctgx
{}
C
xarctg
C
u
uduarctgxu +=+====
∫
22
22
.
Пример 3.
{}
∫∫
=−==−−=− 23)23()23cos(
3
1
)23cos( xuxdxdxx
                              Подведение под знак дифференциала.
       Данный метод основан на определении дифференциала функции

который определяется формулой                          df ( x) = f ' ( x) dx .   Исходя из опре-
деления дифференциала функции, можно отметить два очевидных, но
важных свойства дифференциала функции:
       1.             df ( x) = d ( f ( x ) ± a ) .
                                     1
       2.             df ( x) =        d (Сf ( x)),      С≠0
                                     С


                      ∫
                             x
Пример       1.                  dx ,       замечаем,          что   производная        знаменателя
                           1+ x2

(1 + x ) = 2 x отличается от числителя на постоянный множитель. Тогда
       2 '


                                               2
представив числитель в виде                      x , вносим 2 x под знак дифференциала. В
                                               2
                                           1
результате получаем xdx =                    d (1 + x 2 ) .
                                           2
                                                     ( ).
                                                    d 1+ x 2
                       ∫                       ∫
                                 x     1
       И далее                    dx =                          Последний интеграл является
                           1+ x 2
                                       2            (1 + x )
                                                          2



табличным.        Действительно,                    введя      замену        (      )
                                                                         u = 1 + x2 ,      получим


∫
    du
       = ln u + C или, возвращаясь к старой переменной, окончательно
    u


      ∫1+ x
получим
                  x
                       2
                        ( )dx =
                                     1
                                     2
                                        ( )
                                       ln 1 + x 2 + C = ln 1 + x 2 + C .


          ∫ 1 + x ⎩1 + x                 ⎭ ∫
            arctgx      ⎧ dx             ⎫
Пример 2.          dx = ⎨    = d (arctgx)⎬ = arctgxd (arctgx) =
                             2                  2


                                            u2      arctg 2 x
       = {u = arctgx} = ∫ udu =                +C =           +C .
                                            2          2
                                           1
Пример 3.     ∫ cos(3x − 2)dx = 3 ∫ cos(3x − 2)d (3x − 2) = {u = 3x − 2} =

Страницы