Интегральное исчисление. Кривулин Н.П - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Занятие 2. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Замена в неопределенном интеграле производится с помощью под-
становок двух видов:
1.
)(
t
x
ϕ
=
, где
)(
t
ϕ
- монотонная, непрерывно дифференцируемая
функция новой переменной
t
, тогда
dttdtxdx
t
)(
''
ϕ
==
и формула замены
переменной в этом случае примет вид:
∫∫
= dtttfdxxf )())(()(
'
ϕϕ
2.
)(
x
u
φ
=
, где
u
- новая переменная. Формула замены переменной
при такой подстановке:
[]
∫∫
= duufdtttf )()()(
'
φφ
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
∫
− dxxx 5
, обозначим 5−= xt , тогда 5
2
=
t
x
и
tdttddx 2)5(
2
=+= ,
получим
(
)
∫∫∫
++=+=⋅⋅+=− Cttdttttdtttdxxx
35242
3
10
5
2
522)5(5
,
возвращаясь к переменной
x
,
окончательно получим:
() ()
Cxxdxxx +−+−=−
∫
2
3
2
5
5
3
10
5
5
2
5
Пример 2.
()
∫∫
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
==
==
=
+
t
dtt
dtttddx
txxt
x
dx
1
3
3
;
1
2
23
3
3
3
. Выделим правильную
дробь, поделив числитель на знаменатель,
получим:
.)1ln(3
2
3
)1ln(
2
3
1
1
13
33
3
2
2
CxxxCtt
t
dt
t
t +++−=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−
∫
Тригонометрические подстановки применяются при
интегрировании выражений, представленных в таблице:
Интеграл Подстановка 
       Занятие 2. Замена переменной в неопределенном интеграле.
       Замена в неопределенном интеграле производится с помощью под-
становок двух видов:
       1. x = ϕ (t ) , где ϕ (t ) - монотонная, непрерывно дифференцируемая

функция новой переменной t , тогда dx = xt' dt = ϕ ' (t )dt и формула замены

переменной в этом случае примет вид: ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ' (t )dt

       2. u = φ (x ) , где u - новая переменная. Формула замены переменной

при такой подстановке: ∫ f [φ (t )]φ ' (t ) dt = ∫ f (u ) du

       Рассмотрим примеры.
Пример 1.           ∫x   x − 5dx ,   обозначим      t = x − 5 , тогда                  x = t2 + 5    и

dx = d (t 2 + 5) = 2tdt ,
получим

∫x                                              (
     x − 5dx = ∫ (t 2 + 5) ⋅ t ⋅ 2tdt = 2 ∫ t 4 + 5t 2 dt =    )        2
                                                                            t5 +
                                                                                   10
                                                                                        t3 + C,
                                                                        5          3
возвращаясь к переменной x , окончательно получим:
                         2
       ∫                   ( x − 5) 2 + 10 ( x − 5) 2 + C
                                   5               3
           x x − 5dx =
                         5               3
                          ⎧ t = 3 x ; x = t 3 ⎫ 3t 2 dt
                ∫                                     ∫
                      dx
                         =⎨                    =
Пример 2.                            3
                                      ( ) 2 ⎬
                    1 + x ⎩dx = d t = 3t dt ⎭
                       3                         1+ t
                                                        . Выделим правильную

дробь,              поделив             числитель                  на               знаменатель,
получим:

   ⎛          1 ⎞         ⎛t2                ⎞       33 2
3∫ ⎜ t − 1 +      ⎟dt = 3⎜⎜ − t + ln(t + 1) ⎟⎟ + C =   x − 33 x + ln(3 x + 1) + C.
   ⎝         1+ t ⎠       ⎝2                 ⎠       2
       Тригонометрические                 подстановки               применяются                     при
интегрировании выражений, представленных в таблице:
       Интеграл                                      Подстановка

Страницы