Интегральное исчисление. Кривулин Н.П - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

∫
− dxxaxR ),(
22
)sin(,cos ),cos( sin td
t
adxtd
t
adx
t
a
x
t
a
x
−=
=
=
=
∫
+ dxxaxR ),(
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−====
t
adt
dx
t
adt
dxactgtxatgtx
22
sin
,
cos
),(
∫
− dxaxxR ),(
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
== dt
t
ta
dxdt
t
ta
dx
t
a
x
t
a
x
22
cos
sin
,
sin
cos
,
cos
sin
Пример 6.
∫∫
=⋅−=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
=
=− tdtataa
a
x
t
tdtadx
tax
dxxa cossin
arcsin
cos
sin
22222
∫∫
++=+== Ct
a
t
a
dtt
a
tdta 2sin
42
)2cos1(
2
cos
222
22
Вернемся к старой переменной:
22
22
2
2
212sin1sin2cossin22sin xa
a
x
a
x
a
x
ttttt −=−=−==
Подставив, окончательно получим:
Cxa
x
a
xa
dxxa +−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−
∫
22
2
22
2
arcsin
2
.
Задачи для самостоятельного решения
Интегрирование подстановкой
1.
∫
+++
−+
dx
xx
x
3
1313
113
2.
∫
+ )3(xx
dx
3.
∫
+
++
dx
x
xx
)31(
3
3
6
3
2
4.
∫
+++ 1)1(
2
xxx
dx
5.
∫
++ 1
2
xxx
dx
                                     x = a sin t ( x = a cos t ), dx = a cos tdt , (dx = − a sin tdt )
 ∫   R ( x, a 2 − x 2 )dx

                                                                       adt ⎛           adt ⎞
 ∫ R ( x,    a 2 + x 2 )dx           x = atgt ( x = actgt ), dx =          , ⎜ dx = −
                                                                      cos t ⎝
                                                                         2                    ⎟
                                                                                      sin 2 t ⎠

                                            a ⎛       a ⎞            a cos t ⎛          a sin t ⎞
 ∫ R ( x,    x 2 − a 2 )dx           x=         ⎜x =
                                          sin t ⎝
                                                           ⎟, dx = −
                                                     cos t ⎠             2
                                                                     sin t
                                                                            dt , ⎜ dx =
                                                                                 ⎝
                                                                                               dt ⎟
                                                                                        cos 2 t ⎠


                                            ⎧                ⎫
                                            ⎪ x = a sin t ⎪
                     ∫                                               ∫
                                            ⎪                ⎪
Пример 6.                    a 2 − x 2 dx = ⎨ dx = a cos tdt ⎬ =            a 2 − a 2 sin 2 t ⋅ a cos tdt =
                                            ⎪           ⎛ x ⎞⎪
                                            ⎪t = arcsin ⎜ ⎟⎪
                                            ⎩           ⎝ a ⎠⎭
                         a2                   a2  a2
         = a ∫ cos tdt =
                         2 ∫
             2               2
                             (1 + cos 2t )dt = t + sin 2t + C
                                              2   4
Вернемся к старой переменной:

                                                                   x    x2     x
         sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin t 1 − sin 2 t = 2            1 − 2 = 2 2 a2 − x2
                                                                   a    a     a
Подставив, окончательно получим:
                       a2     ⎛ x⎞ x 2
         ∫
                 2           2
             a − x dx = arcsin⎜ ⎟ +  a − x2 + C .
                       2      ⎝a⎠ 2



                                 Задачи для самостоятельного решения

                                    Интегрирование подстановкой
                                                                  x + 3 x2 + 6 3
1.
     ∫
             3x + 1 − 1
                                    dx
                                                         3.
                                                              ∫     x(1 + 3 3 )
                                                                                 dx
         3x + 1 + 3x + 1 3
                                                                           dx
           dx                                            4.
                                                              ∫ ( x + 1)
2.
     ∫   x (x + 3)                                                     dx
                                                                             x2 + x + 1
                                                         5.
                                                              ∫x     x2 + x +1

Страницы