Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
f(x)dx = {F (x) + C}
Z
f(x)dx = F (x) + C.
R
f(x)dx
f
F ∆
Z
dF (x) = F (x) + C,
Z
F
0
(x)dx = F (x) + C.
f
∆ ∆
d
Z
f(x)dx = f(x)dx.
R
f(x)dx
F f
f g ∆
f +g ∆
Z
(f(x) + g(x)) dx =
Z
f(x)dx +
Z
g(x)dx.
6
                                    R
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, f (x)dx = {F (x) + C},
ãäå ôèãóðíûå ñêîáêè ÿâëÿþòñÿ ñèìâîëîì ìíîæåñòâà. Îäíàêî,
â öåëÿõ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ôèãóðíûå ñêîáêè, êàê ïðàâèëî, íå
ñòàâÿò, è ïèøóò    Z
                       f (x)dx = F (x) + C.
                       R
Èíîãäà òîò æå ñèìâîë f (x)dx èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ
íå âñåé ñîâîêóïíîñòè ïåðâîîáðàçíûõ, à êàêîé-òî îäíîé ïåðâîîá-
ðàçíîé ôóíêöèè f . Îäíàêî, âñÿêîå ðàâåíñòâî, â îáåèõ ÷àñòÿõ
êîòîðîãî ñòîÿò íåîïðåäåëåííûå èíòåãðàëû, åñòü ðàâåíñòâî
ìåæäó ìíîæåñòâàìè.

    2. Îñíîâíûå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
     (1) Ïóñòü ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå ∆ è äèô-
         ôåðåíöèðóåìà â åãî âíóòðåííèõ òî÷êàõ, òîãäà
                     Z
                        dF (x) = F (x) + C,
        èëè, ÷òî òî æå,
                     Z
                          F 0 (x)dx = F (x) + C.

     (2) Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà ïðîìåæóòêå
         ∆; òîãäà äëÿ ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êè ïðîìåæóòêà ∆
         èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
                        Z
                      d f (x)dx = f (x)dx.
                                           R
         (Â äàííîé ôîðìóëå ïîä ñèìâîëîì f (x)dx ïîíèìàåòñÿ
         ïðîèçâîëüíàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ F ôóíêöèè f ).
     (3) Åñëè ôóíêöèè f è g èìåþò ïåðâîîáðàçíûå íà ∆, òî è
         ôóíêöèÿ f +g òàêæå èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà ∆, ïðè÷åì
            Z                    Z          Z
              (f (x) + g(x)) dx = f (x)dx + g(x)dx.

Страницы