ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
31
Занятие 16. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
I. Задания для аудиторной работы.
1. С помощью интегрального признака определить является ряд сходящимся
или расходящимся:
a)
()()
11 1
...
2ln2 3ln3 1 ln 1nn
+++
++
b)
()()
1
1
10 1 ln 10 1
n
nn
∞
=
−
−
∑
2. Вычислить интегралы:
a)
/4
2
0
3
cos
dx
x
π
∫
b)
()
2
0
23cos
x
exdx
π
+
∫
c)
()
7
2
3
0
8
dx
x
−
∫
d)
()
2
/2
2sin
1cos
x
dx
x
π
π
−
∫
e)
2
1
3ln
e
x
dx
x
∫
f)
1
2
0
x
x
edx
∫
g)
/2
0
cos
x
exdx
π
∫
h)
3
2
2
ln
x
xdx
∫
3. Геометрический смысл неопределенного интеграла.
a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
1
1, 0, 2, 3.
2
yx y x x=+==−=
b) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
11
2, .
39
yx yx=+ =
c) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
sin , 0, , .
2
yxyx x
π
= = =− =π
d) Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фи-
гуры, ограниченной линиями
2
4 , 0, 0, 4.yxy x x= ===
e) Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фи-
гуры, ограниченной линиями
2
, .yx yx
=
=
II. Задания для внеаудиторной работы.
1. С помощью интегрального признака, определить является ряд сходя-
щимся или расходящимся: a)
1
1
10 1
n
n
∞
=
+
∑
; b)
1,1
1
n
n
∞
−
=
∑
. (расх.; сх.)
2. Вычислить интегралы: a)
()
2
2
1
37
x
xdx
−
−+
∫
; b)
1
2
0
x
dx
e
∫
; c)
/3
2
0
2
sin
cos
x
dx
x
π
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
∫
;
d)
4
2
22
37
x
xdx−
∫
; e)
ln 3
2
ln 2
1
x
x
edx
e
−
∫
; f)
/2
2
/6
sin
x
dx
x
π
π
∫
; g)
0
sin
x
exdx
π
∫
.
(19,5;
2
11
1
2
e
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
;
1
23
2
+
; 26;
13
ln
22
;
3
ln 2
6
π
+
;
()
1
2
e
π
+
)
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
2
1, 0, 1, 2.yx y x x=− − = =− = (6)
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
[] [] []
22
1
1, 0;1 , 1, 0;3 , 3, 1;3 .
9
yx x y x x y x x=+ ∈ =− + ∈ =−+ ∈
(
1
1
3
)
5. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной линиями
2
1, 2.yx y
=
+= (
64
15
π
)
6. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры,
ограниченной линиями
2
, 1, 4, 0.yx y y x
=
== = ( 7,5π )
III. Подготовиться к аудиторной контрольной работе № 4.
Литература:
1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк.,
1996. Т. 2.
2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.
Занятие 17. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Занятие 16. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ e) Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фи-
гуры, ограниченной линиями y = x 2 , y = x.
I. Задания для аудиторной работы.
1. С помощью интегрального признака определить является ряд сходящимся II. Задания для внеаудиторной работы.
или расходящимся: 1. С помощью интегрального признака, определить является ряд сходя-
1 1 1 ∞
1 ∞
a) + + ... + щимся или расходящимся: a) ∑ ; b) ∑ n −1,1 . (расх.; сх.)
2ln 2 3ln 3 ( n + 1) ln ( n + 1) n =1 10n + 1 n =1
∞ π/3
1 2 1
dx ⎛ 2 ⎞
b) ∑ (10n − 1) ln (10n − 1) ∫ (x − 3x + 7 ) dx ; b) ∫0 e2 x ; c) ∫ ⎜⎝ sin x + cos
2
2. Вычислить интегралы: a) 2 ⎟ dx ;
n =1 −1 0 x⎠
4 ln 3 x π/2 π
e dx xdx
∫ 3x x 2 − 7 dx ; e) ∫e ∫ ∫e
x
2. Вычислить интегралы: d) ; f) ; g) sin xdx .
π/4 π 2 2 ln 2
2x
−1 2
π / 6 sin x 0
3dx
∫ ∫ ( 2e + 3cos x )dx (1 + eπ ) )
2x
a) b) 1⎛ 1⎞ 1 1 3 π 3
0
cos 2 x 0 (19,5; ⎜1 − 2 ⎟ ; + 2 3 ; 26; ln ; + ln 2 ;
7 π
2⎝ e ⎠ 2 2 2 6 2
dx 2sin xdx
c) ∫ d) ∫ (1 − cos x ) 2
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
(8 − x )
2
0 3 π/2 y = − x 2 − 1, y = 0, x = −1, x = 2. (6)
e 1 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
3ln 2 xdx
∫1 x ∫ xe dx
2x
e) f) 1 1
y = x 2 + 1, x ∈ [ 0;1] , y = − x 2 + 1, x ∈ [ 0;3] , y = − x + 3, x ∈ [1;3] . (1 )
0 9 3
π/2 3
5. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
∫e ∫x
x 2
g) cos xdx h) ln x dx 64π
0 2 ограниченной линиями y = x 2 + 1, y = 2. ( )
15
3. Геометрический смысл неопределенного интеграла. 6. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры,
a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: ограниченной линиями y = x 2 , y = 1, y = 4, x = 0. ( 7,5π )
1
y = x 2 + 1, y = 0, x = −2, x = 3. III. Подготовиться к аудиторной контрольной работе № 4.
2
b) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Литература:
1 1
y = x + 2, y = x 2 . 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк.,
3 9
1996. Т. 2.
c) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.
π
y = sin x, y = 0, x = − , x = π.
2 Занятие 17. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
d) Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фи-
гуры, ограниченной линиями y 2 = 4 x, y = 0, x = 0, x = 4.
31
