ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29
Занятие 15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
I. Сдать домашнюю контрольную работу № 3.
II. Задания для аудиторной работы.
1. Методы непосредственного интегрирования.
a)
42
2
3237xxx
dx
x
+−+
∫
; b)
4
2
8
531
cos
x
xdx
x
⎛⎞
−++
⎜⎟
⎝⎠
∫
;
c) 3
2sin
x
x
e
edx
x
−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
∫
; d)
22
sin cos
dx
x
x
∫
.
2. Интегральный признак сходимости ряда.
() lim ()
M
M
NN
fxdx fxdx
∞
→∞
=
∫∫
– несобственный интеграл
a) С помощью интегрального признака доказать, что гармонический ряд расходится
b) С помощью интегрального признака доказать, что ряд
4
1
1
n
x
∞
=
∑
сходится
3. Метод замены переменных.
a)
2
x
edx
∫
; b)
()
7
35
x
dx−
∫
; c)
(
)
23
32
x
xdx+
∫
;
d)
()
2
2
3
3
3
x
dx
x −
∫
; e)
3cos
12sin
x
dx
x
+
∫
; f)
(
)
sin 4 3
x
dx+
∫
.
Указание. Выполнить проверку.
4. Метод интегрирования по частям.
a) sin 2
x
xdx
∫
; b)
()
3
23
x
x
edx−
∫
; c)
x
arctgxdx
∫
.
III. Задания для внеаудиторной работы.
1. Вычислить интегралы:
a)
3
237xx
dx
x
−+
∫
; b)
3
2
5
43
cos
x
x
dx
x
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
∫
;
c)
2
2
32sin
sin
x
x
x
+
∫
. (
3
2
37ln
3
x
xxc
−
++;
4
3
5
ln 3
x
x
tgx c−++
;
2
3ctgx x c
−
++)
2.
С помощью интегрального признака доказать, что ряд
3
1
1
n
x
∞
=
∑
сходится.
3.
Вычислить интегралы:
a)
sin 7 cos
x
xdx
∫
; b)
()
2
4
3
3
2
x
dx
x
−
∫
;
c)
22
1
xx
ee dx−
∫
(
11
cos8 cos 6
16 12
x
xc
−
−+;
()
3
3
1
32
c
x
+
−
;
()
3
2
1
1
3
x
ec
−
+ )
4.
Вычислить интегралы:
a)
x
x
edx
∫
; b) arctgxdx
∫
;
c)
cos
x
xdx
∫
(
(
)
1
x
ex c
−
+ ;
2
1
ln 1
2
x
arctgx x c
−
++; sin cos
x
xxc
+
+ )
Литература:
1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 2.
2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.
Занятие 15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
I. Сдать домашнюю контрольную работу № 3.
II. Задания для аудиторной работы.
1. Методы непосредственного интегрирования.
3x 4 + 2 x 2 − 3x + 7
b) ∫ ⎛⎜ 5 x 4 − 2 + 3 x + 1⎞⎟dx ;
8
a) ∫ dx ;
x2 ⎝ cos x ⎠
⎛ e −x
⎞ dx
c) ∫ e x ⎜ 3 −
⎝
⎟ dx ;
2sin x ⎠
d) ∫ sin 2
x cos 2 x
.
2. Интегральный признак сходимости ряда.
∞ M
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
N
M →∞
N
– несобственный интеграл
a) С помощью интегрального признака доказать, что гармонический ряд расходится
∞
1
b) С помощью интегрального признака доказать, что ряд ∑ x сходится
n =1
4
3. Метод замены переменных.
x
a) ∫ e 2 dx ; b) ∫ ( 3x − 5)7 dx ; c) ∫ x 2 ( 3 + 2 x3 )dx ;
3xdx 3cos xdx
d) ∫ ; e) ∫ ; f) ∫ sin ( 4 x + 3)dx .
(x − 3) 1 + 2sin x
2 2
3
У к а з а н и е . Выполнить проверку.
4. Метод интегрирования по частям.
a) ∫ x sin 2 xdx ; b) ∫ ( 2 x − 3) e3 x dx ; c) ∫ xarctgxdx .
III. Задания для внеаудиторной работы.
1. Вычислить интегралы:
2 x3 − 3x + 7
b) ∫ ⎛⎜ 4 x 3 − ⎞
5
a) ∫ x
dx ;
⎝
2
cos x
+ 3x ⎟dx ;
⎠
3 + 2 x sin 2 x 2 3x
c) ∫ sin 2 x . ( x3 − 3x + 7 ln x + c ; x 4 − 5tgx +
3 ln 3
+ c ; −3ctgx + x 2 + c )
∞
1
2. С помощью интегрального признака доказать, что ряд ∑ x сходится.
n =1
3
3. Вычислить интегралы:
3 x 2 dx
a) ∫ sin 7 x cos xdx ; b) ∫ ;
(2 − x ) 3 4
1 1 1 1
(e − 1) + c )
3
c) ∫ e2 x e 2 x − 1dx (− cos8 x − cos 6 x + c ; +c; 2x
3( 2 − x )
3
16 12 3 3
4. Вычислить интегралы:
a) ∫ xe x dx ; b) ∫ arctgxdx ;
1
c) ∫ x cos xdx ( e x ( x − 1) + c ; xarctgx − ln 1 + x 2 + c ; x sin x + cos x + c )
2
Литература:
1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 2.
2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.
29
