Математика: опорные конспекты лекций и задания к практическим занятиям. Круглова И.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

27
Занятие 14. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
I. Получить домашнюю контрольную работу № 3.
II. Задания для аудиторной работы.
1. Сумма ряда. С помощью частичных сумм, определить сумму
ряда:
a)
()( )
13579... 1 2 1
n
n
Sn=− + − + − + + − − ; b)
()
11 1
...
12 23 1
n
S
nn
=+++
⋅
⋅+
2. Определение и свойства сходимости ряда.
a) Доказать, что гармонический ряд расходится (определить
()
2
lim
nn
x
SS
→∞
− ).
b) Доказать по определению, что ряд геометрической про-
грессии
11 1
1...
24 2
n
++++ сходится.
c) Определить сходимость ряда
34 1
ln 2 ln ln ... ln
23
n
n
+
++++
.
d) Доказать, что ряд
1
23
6
nn
n
n
∞
=
+
∑
сходится, используя свойства
сходящихся рядов.
e) Определить вид сходимость ряда: 1+1+1+1+…
Определить вид сходимость ряда:
35 2 1
2 ...
24 2
n
n
+
++++ .
Так как
()
35 2 1 1 1 1
2 ... 1 1 1 1 ... 1
24 2 4
22
n
nn
+
⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞
++++ =++++++++
⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝ ⎠
,
сделайте важный вывод о сходимости суммы рядов данного типа.
3. Необходимый признак сходимости ряда.
a)
()
11 1
...
12 23 1nn
+++
⋅⋅ +
. Убедитесь, что
()
1
lim 0
1
x
nn
→∞
=
+
.
b) Докажите, что ряд расходится
1
43
57
n
n
n
∞
=
+
−
∑
.
c) Выпишите пять членов ряда, проверьте необходимый при-
знак
2
2
21
32
n
n
a
n
+
=
−
.
4. Достаточные признаки сходимости ряда.
4.1. Признаки сравнения:
a)
11 1
...
23 lg
lg lg n
+++ ;
b)
11 1
1 ...
23
n
++++
;
c)
2
11 1
1...
12 22 2
n
n
++ ++
⋅
⋅
⋅
;
d)
22 2
11 1
1 ...
23
n
++++.
4.2. Признак Деламбера:
a)
11 1
1...
1! 2! !n
+
+++
;
b)
1
2
n
n
n
∞
=
;
c)
2
1
1
n
n
∞
=
;
d)
1
1
!
n
n
∞
=
⋅
.
4.3. Признак Коши:
a)
1
21
n
n
n
n
∞
=
⎛⎞
⎜⎟
+
⎝⎠
∑
;
b)
2
1
1
n
n
∞
=
;
c)
1
1
1
n
n
n
∞
=
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
∑
;
d)
()
1
1
ln 1
n
n
n
∞
=
+
∑
.
Литература:
1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш.
шк., 1996. Т. 2.
2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990. 
                          Занятие 14. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ                                                            4. Достаточные признаки сходимости ряда.
                                                                                                               4.1. Признаки сравнения:
       I. Получить домашнюю контрольную работу № 3.                                                                         1     1           1
                                                                                                                     a)        +    + ... +        ;
       II. Задания для аудиторной работы.                                                                                 lg 2 lg 3          lg n
1. Сумма ряда. С помощью частичных сумм, определить сумму                                                                      1    1             1
                                                                                                                     b)   1+      +     + ... +      ;
ряда:                                                                                                                           2    3             n
                                                                 1    1                 1                                      1     1               1
a) Sn = −1 + 3 − 5 + 7 − 9 + ... + ( −1)n ( 2n − 1) ; b) Sn =       +      + ... +                                   c)   1+      +        + ... +          ;
                                                                1⋅ 2 2 ⋅ 3         n ( n + 1)                                 1⋅ 2 2 ⋅ 2 2
                                                                                                                                                   n ⋅ 2n
                                                                                                                               1 1             1
2. Определение и свойства сходимости ряда.                                                                           d)   1 + 2 + 2 + ... + 2 .
                                                                                                                              2 3             n
        a) Доказать, что гармонический ряд расходится (определить                                              4.2. Признак Деламбера:
lim ( S2 n − S n ) ).
x →∞                                                                                                                         1 1          1
                                                                                                                     a) 1 + +      + ... + ;
       b) Доказать по определению, что ряд геометрической про-                                                               1! 2!        n!
               1    1        1                                                                                           ∞
                                                                                                                              n
грессии 1 + + + ... +             сходится.                                                                          b) ∑ n ;
               2    4        2n                                                                                         n =1 2
                                                                    3   4           n +1                                 ∞
                                                                                                                              1
       c) Определить сходимость ряда ln 2 + ln + ln + ... + ln                           .                           c) ∑ 2 ;
                                                                    2   3             n
                                                                                                                        n =1 n
                                        ∞
                                            2n + 3n
                                       ∑
                                                                                                                         ∞
       d) Доказать, что ряд                           сходится, используя свойства                                            1
                                              6n                                                                     d) ∑ .
                                                                                                                        n =1 ⋅n !
                                       n =1

сходящихся рядов.                                                                                              4.3. Признак Коши:
     e) Определить вид сходимость ряда: 1+1+1+1+…                                                                          ∞                n
                                                                                                                               ⎛ n ⎞
       Определить вид сходимость ряда: 2 + + + ... +
                                                            5   3    2 +1
                                                                          .
                                                                              n                                      a)   ∑    ⎜        ⎟
                                                                                                                          n =1 ⎝ 2n + 1 ⎠
                                                                                                                                                ;
                                                            4   2     2n                                                   ∞
                                                                                                                                1
       Так      как
                             3 5       2n + 1         ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞                 ⎛     1
                          2 + + + ... + n = (1 + 1) + ⎜ 1 + ⎟ + ⎜ 1 + ⎟ + ... + ⎜ 1 + n
                                                                                                ⎞                    b)   ∑        ;
                                                                                                ⎟,
                                                                                                                                 2
                                                                                                                          n =1 n
                             2 4        2             ⎝    2 ⎠ ⎝      4 ⎠       ⎝    2          ⎠                          ∞            n
                                                                                                                               ⎛ 1⎞
сделайте важный вывод о сходимости суммы рядов данного типа.                                                         c)   ∑    ⎜1 + ⎟ ;
                                                                                                                          n =1 ⎝      n⎠
3. Необходимый признак сходимости ряда.                                                                                    ∞
                                                                                                                                     1
       a)
             1
                +
                  1
                       + ... +
                                    1
                                          . Убедитесь, что lim
                                                                     1
                                                                           =0.
                                                                                                                     d)   ∑
                                                                                                                          n =1 ln n
                                                                                                                                    ( n + 1)
                                                                                                                                             .
            1⋅ 2 2 ⋅ 3         n ( n + 1)                  x →∞ n ( n + 1)
                                                        ∞
                                                              4n + 3                                            Литература:
       b) Докажите, что ряд расходится                 ∑ 5n − 7 .
                                                       n =1                                               1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш.
       c) Выпишите пять членов ряда, проверьте необходимый при-                                           шк., 1996. Т. 2.
             2n 2 + 1                                                                                     2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.
знак an =             .
             3n 2 − 2
                                                                                                     27

Страницы