Математика: опорные конспекты лекций и задания к практическим занятиям. Круглова И.А. - 26 стр.

! Необходимый признак сходимости!                                                                                     !Достаточный признак сходимости!
                 ∞
      Если   ∑a
             n =1
                     n       сх-ся ⇒ lim a n = 0
                                         n→∞
                                                                                                                                         S n = const

                                                                                  Свойства сходящихся                              Если при n → ∞, ∃ lim S n = S
                                                                                                                                                       n →∞

                                                                                                                                   Если при n → ∞, ∃ lim S n = S
                                                                                                                                                           n →∞

                                  1. Если   ∑a n      сходится и его сумма =S, то сходится         ∑c ⋅ a   n   и его сумма = c ⋅ S .
                                  2.   Если ∑ a   n   и   ∑b   n   сходится ⇒ ∑ (a n ± bn ) сходится и его сумма S = S1 ± S 2 .
                                  3. На сходимость ряда не влияют отбрасывания, добавления, изменения конечного числа слагаемых.


                                                                            S n = a1 + a2 + a3 + ... = ∑ ak
                                                                                  Числовой ряд




∀i ∀bi ≥ ai при      ∑ b − сходится ⇒ ∑ a − сходится
                              i                           i
                                                                                                    положительного
                                                                                                                             Если для ряда ∃
                                                                                                                                           неотрицательного
∀bi ≥ ai при     ∑ a − расходится ⇒ ∑ b − расходится
                         i                                i                                              lim
                                                                                                                  an +1
                                                                                                                        =ρ                  lim n an = ρ
                                                                                                         n→∞       an                       n →∞

               ПРИМЕР:
             ∞
               1
          ∑
          n =1 n
                  − расходится
           ∞
               1                                                                                                             ⎧ ρ > 1, расходится
          ∑
          n =1 2
                 n
                   − сходится                                                                                                ⎪
                                                                                                                             ⎨ ρ < 1, сходится
                                                                                                                             ⎪ ρ = 1, ???
                                                                                                                             ⎩



                                                                                                                                                                   ОК 2.5
                                                                                       26