Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
(5)
B=b− v''=
1
11
Г (u')
2
+2
1
12
Г u'v'+
1
22
Г (v')
2
.
Приравнивая геодезическую кривизну к нулю , получим дифференциаль-
ное внутреннее уравнение геодезической линии
( u''+A)v'− (v''+B)u'=0. (6)
Оно определено не полностью , так как содержит две искомые функции.
Это обусловлено неопределенной параметризацией геодезической линии.
Выявим зависимость от параметризации и получим рабочее дифференци-
альное уравнение .
Представим r '' в виде
r ''=(r''τ)τ+(r''N)N+(r''b)b.
Положим для геодезической
( r ''b)=0. (7)
Тогда имеем
r''− (r''N)N=(r''τ)τ=(r''τ)(r
u
u'+r
v
v')/|r'|. (8)
Сравним это с (2), и приравняв коэффициенты при r
u
, r
v
, получим
a = u''+A=[(r''τ)/|r'|]u',
b=v''+B=[(r''τ)/|r'|]v'.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение геодезической линии в виде
( u''+A)/u'=(v''+B)/v'=(r''τ)/|r'|.
Или
(u''+A)v'=(v''+B)u'=u'v'(r''τ)/|r'|=u'v's''/|s'(p)|=− u'v'p''(s)/p'
2
.
Будем рассматривать такие параметризации геодезической линии, при ко-
торых (r''τ)=0. Этому условию отвечает, в частности, натуральная параметриза-
ция по дуге s, а также и любая другая по параметру q, связанным с s линейным
соотношением as+bq=c.
Тогда, будем иметь систему двух дифференциальных уравнений для двух
искомых функций u = u (q) и v=v(q), представляющих собой внутренние уравне-
ния геодезической r = r ( u (q),v(q))=r(q), 
                                                19
                                                                                  (5)
                                     2                     2
                B=b−v''= Г (u') +2 Г u'v'+ Г (v') .
                              1
                             11
                                            1
                                           12
                                                     1
                                                     22



      Приравнивая геодезическую кривизну к нулю, получим дифференциаль-
ное внутреннее уравнение геодезической линии

                                  (u''+A)v'−(v''+B)u'=0.                          (6)

     Оно определено не полностью, так как содержит две искомые функции.
Это обусловлено неопределенной параметризацией геодезической линии.
     Выявим зависимость от параметризации и получим рабочее дифференци-
альное уравнение.
     Представим r'' в виде

                              r''=(r''τ)τ+(r''N)N+(r''b)b.

      Положим для геодезической

                                         (r''b)=0.                                (7)

Тогда имеем

                        r''−(r''N)N=(r''τ)τ=(r''τ)(ruu'+rvv')/|r'|.               (8)

Сравним это с (2), и приравняв коэффициенты при ru, rv, получим

                                   a=u''+A=[(r''τ)/|r'|]u',
                                   b=v''+B=[(r''τ)/|r'|]v'.

Отсюда получаем дифференциальное уравнение геодезической линии в виде

                           (u''+A)/u'=(v''+B)/v'=(r''τ)/|r'|.

Или

           (u''+A)v'=(v''+B)u'=u'v'(r''τ)/|r'|=u'v's''/|s'(p)|=−u'v'p''(s)/p'2.

      Будем рассматривать такие параметризации геодезической линии, при ко-
торых (r''τ)=0. Этому условию отвечает, в частности, натуральная параметриза-
ция по дуге s, а также и любая другая по параметру q, связанным с s линейным
соотношением as+bq=c.
      Тогда, будем иметь систему двух дифференциальных уравнений для двух
искомых функций u=u(q) и v=v(q), представляющих собой внутренние уравне-
ния геодезической r=r(u(q),v(q))=r(q),

Страницы