Дифференциальная геометрия. Крутов А.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
r
uu
=
1
11
Г r
u
+
2
11
Г r
v
+(r
uu
N)N, a=u''+
1
11
Г (u')
2
+2
1
12
Г u'v'+
1
22
Г (v')
2
,
r
uv
=
1
12
Г r
u
+
2
12
Г r
v
+(r
uv
N)N, b=v''+
1
11
Г (u')
2
+2
1
12
Г u'v'+
1
22
Г (v')
2
, (3.19)
r
vv
=
1
22
Г r
u
+
2
22
Г r
v
+(r
vv
N)N; γ= L(u')
2
+2Mu'v'+N(v')
2
,
k
g
=(r''×r')N/|r'|
3
=(av'− bu')|r
u
×r
v
|/|r'|
3
, r
u
×r
v
≠0, (3.20)
k
g
=|r
u
×r
v
|[(u''+A)v'− (v''+B)u']/|r'|
3
, (3.21)
A=a−u''=
1
11
Г (u')
2
+2
1
12
Г u'v'+
1
22
Г (v')
2
,
(3.22)
B=b− v''=
1
11
Г (u')
2
+2
1
12
Г u'v'+
1
22
Г (v')
2
.
По теореме сложения угловых скоростей имеем
ω
2
=ω
1
+ϑ'τ=χτ+kβ+ϑ'τ=(χ+ϑ')τ+kβ,
χ=χ
g
+ϑ'.
Найдем ϑ' через характеристики проекций вектора кривизны кривой на
поверхности. Из (3.15) имеем
kcosϑ=k
N
, ksinϑ=k
g
.
Дифференцируя первое и подставляя его во второе получаем
k'cosϑ− kϑ'sinϑ=k'
N
,
k'k
N
/k− ϑ'k
g
=k'
N
,
ϑ'=− (k'k
N
− kk'
N
)/(k
g
k),
χ
g
=χ+(k
g
'k
N
− k
g
k'
N
)/(k
g
2
+k
N
2
).
2.5. Дифференциальные внутренние уравнения геодезической линии
Выше мы получили вычислительную формулу для геодезической кривиз -
ны k
g
k
g
=kb=kνb=r''(s)b=r''(p)b/|r'|
2
=(r''τN)/|r'|
2
=(r''r'N)/|r'|
3
, (1)
r''=αr
u
+βr
v
+γN; r'=r
u
u'+r
v
v', (2)
k
g
=(r''×r')N/|r'|
3
=(av'− bu')|r
u
×r
v
|/|r'|
3
; r
u
×r
v
≠0, (3)
k
g
=|r
u
×r
v
|[(u''+A)v'− (v''+B)u']/|r'|
3
, (4)
A=a− u''=
1
11
Г (u')
2
+2
1
12
Г u'v'+
1
22
Г (v')
2
, 
                                                 18
             ruu= Г111 ru+ Г112 rv+(ruuN)N, a=u''+ Г111 (u')2+2 Г121 u'v'+ Г 221 (v')2,
             ruv= Г121 ru+ Г122 rv+(ruvN)N, b=v''+ Г111 (u')2+2 Г121 u'v'+ Г 221 (v')2,   (3.19)
             rvv= Г 221 ru+ Г 222 rv+(rvvN)N; γ= L(u')2+2Mu'v'+N(v')2,

             kg=(r''×r')N/|r'|3=(av'−bu')|ru×rv|/|r'|3, ru×rv≠0,                          (3.20)

             kg=|ru×rv|[(u''+A)v'−(v''+B)u']/|r'|3,                                       (3.21)

             A=a−u''= Г111 (u')2+2 Г121 u'v'+ Г 221 (v')2,
                                                                                          (3.22)
                                 2                      2
             B=b−v''= Г (u') +2 Г u'v'+ Г (v') .
                           1
                          11
                                         1
                                        12
                                                  1
                                                 22



        По теореме сложения угловых скоростей имеем

                               ω2=ω1+ϑ'τ=χτ+kβ+ϑ'τ=(χ+ϑ')τ+kβ,
                               χ=χg+ϑ'.

     Найдем ϑ' через характеристики проекций вектора кривизны кривой на
поверхности. Из (3.15) имеем

                                     kcosϑ=kN, ksinϑ=kg.

        Дифференцируя первое и подставляя его во второе получаем

                                     k'cosϑ−kϑ'sinϑ=k'N,

                                     k'kN/k−ϑ'kg=k'N,

                                     ϑ'=−(k'kN−kk'N)/(kgk),
                                     χg=χ+(kg'kN−kgk'N)/(kg2+kN2).


  2.5. Дифференциальные внутренние уравнения геодезической линии
        Выше мы получили вычислительную формулу для геодезической кривиз-
ны kg

                   kg=kb=kνb=r''(s)b=r''(p)b/|r'|2=(r''τN)/|r'|2=(r''r'N)/|r'|3,             (1)
                   r''=αru+βrv+γN; r'=ruu'+rvv',                                             (2)
                   kg=(r''×r')N/|r'|3=(av'−bu')|ru×rv|/|r'|3; ru×rv≠0,                       (3)

                   kg=|ru×rv|[(u''+A)v'−(v''+B)u']/|r'|3,                                    (4)

                   A=a−u''= Г111 (u')2+2 Г121 u'v'+ Г 221 (v')2,

Страницы